Monoid

Monoid je skup M s binarnom operacijom *: M × M → M, te za koji vrijede sljedeći aksiomi:

• Zatvorenost: (za svake a i b iz M, a*b je također u M)
• Asocijativnost:
• Neutralni element: (postoji element e iz M, takav da je za svaki a iz M vrijedi a*e = e*a = a.)

Također možemo reći da je monoid polugrupa s neutralnim elementom.

Monoid zadovoljava sve aksiome grupe osim postojanja inverza.

• Svaki jednočlani skup {x} tvori monoid koji ima samo jedan element. Za fiksirani x je taj monoid jedinstven jer aksiomi monoida zahtijevaju da u ovom slučaju bude x*x = x.
• Svaka grupa je monoid.
• Svaka polugrupa S se može pretvoriti u monoid tako da joj dodamo element e koji nije u S i definiramo e*e = e i e*s = s*e = s, za svaki s ∈ S.
• Neka je S skup. Tada je skup svih funkcija S → S s operacijom kompozicije funkcija monoid. Neutralni element je funkcija identiteta, tj.
  f: S → S takva da je f(s) = s, za svaki s ∈ S.

• Izravno iz definicije se može pokazati da je neutralni element jedinstven:

Pretpostavimo da postoje dva neutralna elementa, e₁ i e₂. Tada je: e₁ = e₁*e₂ = e₂