Monoide

Nell'algebra astratta, una branca della matematica, un monoide è una struttura algebrica dotata dell'operazione binaria associativa e di un elemento neutro. I monoidi sono studiati nella teoria dei semigruppi in quanto sono semigruppi dotati di elemento neutro.

Definizione

Un monoide è un insieme $M$ munito di una singola operazione binaria $*$ che ad ogni coppia di elementi $a,b\in M$ associa l'elemento $a*b,$ rispettando i seguenti assiomi:

Chiusura: Per ogni $a,b\in M,$ l'elemento $a*b$ appartiene ancora a $M,$ vale a dire che $M$ è chiuso rispetto al prodotto (l'insieme che soddisfa questa proprietà si chiama magma).

Associatività: Il prodotto è associativo: dati $a,b,c\in M,$ vale $(a*b)*c=a*(b*c)$ (l'insieme che soddisfa questa proprietà e la chiusura si chiama semigruppo).

Elemento neutro: Esiste in $M$ un elemento neutro o identità $e$ tale che $a*e=e*a=a$ per ogni $a\in M.$

Proprietà

Partendo dagli assiomi formulati si dimostra che l'elemento neutro è univocamente determinato. Se $e$ , $f$ sono entrambi elementi neutri, si ha $f=e*f=e$ , dove la prima eguaglianza segue dal fatto che $e$ è un elemento neutro, e la seconda dal fatto che lo è $f$ .

Un monoide è quindi un semigruppo unitario, ovvero un magma associativo unitario.

Un monoide con base (ossia un insieme di elementi che generano il monoide e che non possono essere ottenuti dagli altri elementi della base) si definisce monoide libero.

Monoidi e gruppi

Un gruppo è un monoide dotato di elemento inverso.

Un elemento $a$ del monoide $M$ si dice invertibile se esiste in $M$ un suo inverso, cioè un elemento $b$ in $M$ tale che $a*b=b*a=e$ . Se esiste, questo elemento $b$ è univocamente determinato, e può dunque essere chiamato l'inverso di $a$ . Infatti se $b$ , $c$ sono entrambi inversi di $a$ , si ha $b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c$ , dove le eguaglianze seguono nell'ordine dalla definizione di elemento neutro, dal fatto che $c$ è un inverso di $a$ , dalla proprietà associativa, dal fatto che $b$ è un inverso di $a$ , e ancora dalla definizione di elemento neutro.

Se ogni elemento di un monoide $M$ è invertibile, allora $M$ è un gruppo.

Più in generale, sia $M$ un monoide qualsiasi, e sia $G$ l'insieme degli elementi invertibili di $M$ . Intanto, $G$ non è vuoto, perché si vede subito che contiene $e$ . E poi si può vedere che $G$ è un gruppo rispetto alla stessa operazione di $M$ . Il gruppo $G$ viene detto il gruppo degli elementi invertibili del monoide $M$ .

Esempi

L'insieme dei numeri interi $\mathbb {Z}$ con l'operazione prodotto è un monoide commutativo dove l'elemento neutro è 1 e gli elementi invertibili sono 1 e -1.
Un esempio tipico di monoide è dato dalle funzioni $f\colon X\to X$ definite da un insieme in sé stesso dove il prodotto è dato dalla composizione $(f(g))(x):=(f\circ g)(x)=f(g(x))$ . L'elemento neutro è dato dalla funzione identità $\mathrm {id} \colon X\to X,$ con $\mathrm {id} (x):=x.$ Il gruppo degli elementi invertibili è formato in questo caso dalle funzioni biiettive.
Un altro esempio di monoide è dato dall'insieme delle matrici quadrate di ordine $n$ su cui si consideri l'operazione prodotto righe per colonne. In questo caso l'elemento neutro è dato dalla matrice identità.

Note

Bibliografia

Maria Silvia Lucido e Dikran Dikranjan, Aritmetica e algebra, Liguori, 2007, ISBN 978-88-207-4098-6, OCLC 849179510.
Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9, OCLC 797301581.

Voci correlate

Informatica: Linguaggi formali

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Collegamenti esterni

monoide, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

monoide, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

Luca Tomassini, monoide, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2008.

monòide, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

monoide, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Opere riguardanti Monoids, su Open Library, Internet Archive.

(EN) Eric W. Weisstein, Monoid, su MathWorld, Wolfram Research.

(EN) Monoid, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.