Realni broj

Skup realnih brojeva $\mathbb {R}$ je unija skupa racionalnih brojeva $\mathbb {Q}$ i skupa iracionalnih brojeva.

Računske operacije na skupu $\mathbb {R}$ su definirane kao i za ostale skupove $\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z}$ i $\mathbb {Q}$ , tj. za realne brojeve vrijede svojstva komutativnosti i asocijativnosti zbrajanja i množenja, te distributivnosti množenja prema zbrajanju.

Skup $\mathbb {R}$ je gust, odnosno između svaka dva različita realna broja postoji beskonačno realnih brojeva.
Skup $\mathbb {R}$ je neprebrojiv.
Elementi skupa $\mathbb {R}$ prekrivaju čitav brojevni pravac.

Skup realnih brojeva, zajedno s operacijama zbrajanja i množenja, primjer je polja.

Osnovna svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva

Za polje realnih brojeva vrijedi:

(R1) $a+b\in \mathbb {R},\forall a,b\in \mathbb {R}$ (zatvorenost zbrajanja)

(R2) $(a+b)+c=a+(b+c),\forall a,b,c\in \mathbb {R}$ (asocijativnost zbrajanja)

(R3) $a+0=a,\forall a\in \mathbb {R}$ (neutralnost nule pri zbrajanju)

(R4) $(\forall a\in \mathbb {R})(\exists -a\in \mathbb {R})(a+(-a)=0)$ (postojanje suprotnog broja)

(R5) $a+b=b+a,\forall a,b\in \mathbb {R}$ (komutativnost zbrajanja)

(R6) $ab\in \mathbb {R},\forall a,b\in \mathbb {R}$ (zatvorenost množenja)

(R7) $(ab)c=a(bc),\forall a,b,c\in \mathbb {R}$ (asocijativnost množenja)

(R8) $a\cdot 1=a,\forall a\in \mathbb {R}$ (neutralnost jedinice pri množenju)

(R9) $(\forall 0\neq a\in \mathbb {R})(\exists a^{-1}\in \mathbb {R})(aa^{-1}=1)$ (postojanje inverznog broja)

(R10) $ab=ba,\forall a,b\in \mathbb {R}$ (komutativnost množenja)

(R11) $a(b+c)=ab+ac,\forall a,b,c\in \mathbb {R}$ (distributivnost množenja prema zbrajanju slijeva)

(R11)' $(a+b)c=ac+bc,\forall a,b,c\in \mathbb {R}$ (distributivnost množenja prema zbrajanju zdesna)

Realni broj $a$ manji je od realnog broja $b$ ako postoji pozitivan realni broj $p$ takav da je $a+p=b$ . Uređaj ima sljedeća svojstva:

tranzitivnost uređaja: $a<b\land b<c\implies a<c$
odnos uređaja prema zbrajanju: $a<b\implies a+x<b+x,\forall x\in \mathbb {R}$
odnos uređaja prema množenju: $a<b\implies ax<bx,\forall x>0$ i $a<b\implies ax>bx,\forall x<0$