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Fecho

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Em topologia, o fecho ou aderência de um subespaço topológico S de X é o menor fechado de X que contém S.

Definição

O fecho de um conjunto $X$ , denotado por ${\overline {X}}$ , é o conjunto formado pelos seus pontos aderentes.

Um conjunto é considerado fechado se é igual ao seu fecho. Ou seja, quando contém todos os seus pontos aderentes.

Propriedades

O fecho de S é a intersecção de todos os fechados que contêm S;
O fecho de um conjunto X ( ${\overline {X}}$ ) é obtido acrescentando-se a X os seus pontos de acumulação, ou seja, é a união de dois conjuntos, X e $X'$ (=conjunto dos pontos aderentes): ${\overline {X}}=X\cup X'$ . Por exemplo, se tomarmos o conjunto aberto $X=\left(0,3\right)$ , então seu fecho será o conjunto fechado ${\overline {X}}=X\cup X'=\left[0,3\right]$ .

O fecho de S é a união de S com a sua fronteira.

Exemplos

O fecho do conjunto $\mathbb {Q}$ dos números racionais é a reta $\mathbb {R}$ . Também o fecho do conjunto $(\mathbb {R} -\mathbb {Q})$ dos números irracionais é $\mathbb {R}$ . $\mathbb {Q}$ e $(\mathbb {R} -\mathbb {Q})$ não são conjuntos fechados.
O fecho de uma bola aberta é uma bola fechada.

Ler a seguir

Conjunto fechadoconjunto cujo complemento é um conjunto aberto Ponto aderente Conjunto denso Ponto limite

Espaço métricoconjunto equipado com uma métrica (função distância)

Texto da Wikipédia, CC BY-SA 4.0 · Artigo de origem