factograf
PT

Idioma da Wikipédia

EnglishУкраїнськаDeutschFrançaisEspañolPolskiItalianoPortuguêsРусскийČeština日本語中文NederlandsSvenskaالعربيةفارسیעבריתTürkçe한국어Tiếng ViệtBahasa Indonesiaहिन्दीRomânăMagyarSuomiNorskDanskΕλληνικάБългарскиСрпскиHrvatskiSlovenčinaLietuviųLatviešuEestiქართულიՀայերենҚазақшаБеларускаяCatalàEuskaraไทย
Entrar

Conjunto aberto

Em topologia, um conjunto diz-se aberto (inclusive o conjunto nulo) se você escolher qualquer ponto do conjunto e movimentar-se minimamente para qualquer lado, ainda se mantém no conjunto.

Para espaços métricos existem algumas definições que são equivalentes a dizer que um conjunto é aberto. Por exemplo, qualquer que seja o conjunto {\displaystyle A} fechado, seu complementar {\displaystyle A^{c}} é aberto e vice versa. Então {\displaystyle A} é aberto se, e somente se, {\displaystyle A^{c}} é fechado.

Ou também, um subconjunto é dito aberto se para cada ponto dele for a vizinhança de cada um de seus elementos.

Por fim podemos definir que um conjunto é aberto se, e somente se, existe uma raio não negativo que faz a bola aberta centrada em qualquer ponto estar totalmente contida no conjunto.


Proposição: A união de finitos abertos também é um aberto.

Demonstração: Dado {\displaystyle A_{1}} e {\displaystyle A_{2}} abertos, a união destes dois é {\displaystyle \cup (A_{1},A_{2})=A}. Seja um ponto pertencente à esta união, este ponto pertence ou à {\displaystyle A_{1}} ou à {\displaystyle A_{2}} (possivelmente à ambos), se estiver em {\displaystyle A_{1}} existe uma bola aberta para algum raio (não negativo), em que a bola está totalmente dentro de {\displaystyle A_{1}}, o mesmo para {\displaystyle A_{2}}. Então, de qualquer forma, existe uma bola que está totalmente dentro de qualquer ponto de {\displaystyle \cup (A_{1},A_{2})=A}. Isso se generaliza para {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup {...}\cup A_{n};n\in \mathbb {N} } é aberto, se cada {\displaystyle A_{i}} é aberto, {\displaystyle i=1,...,n}..

Definição

Espaços topológicos

Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia {\displaystyle T} em um conjunto {\displaystyle X} é definida como um subconjunto do conjunto das partes de {\displaystyle X} (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de {\displaystyle T} é chamado de um aberto ou conjunto aberto.

Espaços métricos

Em um espaço métrico, um subconjunto é dito aberto se ele for a vizinhança de cada um de seus elementos. Ou seja, dado um espaço métrico {\displaystyle S\,\!}, um subconjunto {\displaystyle X\,\!} de {\displaystyle S\,\!} é aberto se, para cada ponto {\displaystyle a\in X}, existe {\displaystyle \delta >0\,\!} tal que a bola aberta {\displaystyle B(a,\delta)\,\!} ainda esteja contida em {\displaystyle X\,\!}.

Propriedades

  • Em um espaço topológico ou espaço métrico {\displaystyle X}, o conjunto vazio e o próprio conjunto {\displaystyle X} são abertos.
  • Um conjunto é aberto se e só se coincidir com o seu interior.
  • Um conjunto é aberto se e só se o seu complementar for fechado.
  • A interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.
  • A união de qualquer quantidade (mesmo infinita) de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Abertos de

Como {\displaystyle \mathbb {R} } (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto {\displaystyle X\,\!} de {\displaystyle \mathbb {R} } é aberto se, para cada ponto {\displaystyle a\in \mathbb {R} }, existe {\displaystyle \epsilon \,\!} tal que {\displaystyle (a-\epsilon,a+\epsilon)\subset X}.

Em {\displaystyle \mathbb {R} }, um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.

Ler a seguir

Espaço métricoconjunto equipado com uma métrica (função distância) Função contínuatipo de função entre espaços em matemática Conjunto pré-compactoespaço métrico X tal que, para todo ε > 0, existe uma cobertura finita de X tal que o raio de cada elemento da cobertura é no máximo ε Métrica (matemática) Espaço topológicoconjunto de pontos e conjunto de vizinhanças que satisfazem axiomas relacionando tais pontos a tais vizinhanças Sucessão de Cauchysequência em que a diferença entre seus termos diminui, tendendo a zero infinitamente

Em 45 idiomas

PortuguêsالعربيةasturianuбашҡортсабългарскиcatalàčeštinaчӑвашлаdanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoespañoleestieuskaraفارسیsuomifrançaisgalegoעבריתhrvatskimagyarBahasa Indonesiaíslenskaitaliano日本語한국어кыргызчаNederlandsnorskpolskiromânăрусскийSimple Englishslovenčinaslovenščinaсрпски / srpskisvenskaไทยукраїнськаTiếng Việt文言粵語中文

Texto da Wikipédia, CC BY-SA 4.0 · Artigo de origem