Gamma-matrices

Gamma-matrices zijn anticommuterende 4x4-matrices $\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}$ die voldoen aan de relaties

\gamma ^{0}\gamma ^{0}=\mathbf {I},\quad \gamma ^{k}\gamma ^{k}=-I,\quad k=1,2,3

en voor $\mu \neq \nu$

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu },\quad \mu,\nu =0,1,2,3

waar $I$ de 4x4-eenheidsmatrix is. Deze relaties kunnen in de volgende vergelijking worden samengevat:

\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }\mathbf {I}

$g^{\mu \nu }$ is de metrische tensor.

g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}

Er zijn veel matrices die aan deze relaties voldoen. Twee matrices die aan de vergelijking voldoen zijn gelijksoortige matrices.

Het is gebruikelijk het product van de vier gamma-matrices te noteren als

\gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}

De gamma-matrices vinden vooral toepassing in de relativistische kwantumveldentheorie, bij het beschrijven van de elektromagnetische wisselwerking van fermionen. De diracvergelijking kan in relativistische eenheden worden geschreven als

(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0

waarbij $\psi =\psi (x^{\mu })$ de golffunctie, de relativistische golffunctie is.

Diracmatrices

De diracmatrices, genoemd naar Paul Dirac, voldoen aan bovenstaande relaties, dus zijn gamma-matrices.

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}

\gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}}\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}

\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}

De weylmatrices, genoemd naar Hermann Weyl, zijn ook gamma-matrices:

\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}

$\gamma ^{k}$ , $k=1,2,3$ zijn hetzelfde als in de diracmatrices. $\gamma ^{5}$ is diagonaal.

\gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

De Weylmatrices zijn bekend als de spinor representatie.