factograf
CS

Jazyk Wikipedie

EnglishУкраїнськаDeutschFrançaisEspañolPolskiItalianoPortuguêsРусскийČeština日本語中文NederlandsSvenskaالعربيةفارسیעבריתTürkçe한국어Tiếng ViệtBahasa Indonesiaहिन्दीRomânăMagyarSuomiNorskDanskΕλληνικάБългарскиСрпскиHrvatskiSlovenčinaLietuviųLatviešuEestiქართულიՀայերենҚазақшаБеларускаяCatalàEuskaraไทย

čtveřice matic splňující antikomutační relace

Diracovy matice

Diracovy matice či gama matice označují čtveřici matic o rozměrech {\displaystyle 4\times 4}, které splňují antikomutační relace. Díky splnění antikomutačních relací je s nimi možné sestavit Diracovu rovnici. Pomocí nich lze zkonstruovat celou bázi {\displaystyle 4\times 4} matic, což v kombinaci s jejich matematickými vlastnostmi slouží v relativistické kvantové fyzice při vícero důkazech.

Definice

Diracovy matice jsou čtveřicí matic o co nejmenších rozměrech, které splňují antikomutační relace:

{\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }\mathbf {1} }, {\displaystyle \quad \mu,\nu =1,2,3,4,}

kde {\displaystyle \{A,B\}=AB+BA} je antikomutátor, {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }} jsou komponenty Minkowského metriky a {\displaystyle \mathbf {1} } je jednotková matice příslušného rozměru (v zápisu ji lze vynechávat).

Pro konkrétní hodnoty indexů antikomutační relace znamenají:

{\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=0} pro různé indexy {\displaystyle \mu \neq \nu },
{\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=\mathbf {1} ~~\;} pro {\displaystyle \mu =\nu =0},
{\displaystyle \left(\gamma ^{j}\right)^{2}=-\mathbf {1} } pro {\displaystyle j=1,2,3}.

Tyto rovnosti lze splnit všechny najednou pouze s maticemi, které mají rozměr nejméně {\displaystyle 4\times 4}.

Rozšíření o pátou matici

K původním čtyřem maticím se často doplňuje pátá matice, která slouží ke zkrácení zápisu:

{\displaystyle \gamma _{5}\equiv i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}.}

Matice {\displaystyle \gamma _{5}} je užitečná pro zpřehlednění výpočtů při popisu chirality částic. Při transformacích se chová jako pseudoskalár a slouží tak k rozlišení transformací, při kterých se nezachovává orientace prostoru nebo částic.

Reprezentace

Diracovy matice reprezentují Cliffordovu algebru, která je generována pomocí antikomutačních relací. Díky tomu, že matice volíme o co nejmenších rozměrech, jedná se o ireducibilní reprezentaci. Diracovy matice lze reprezentovat pomocí čistě imaginárních matic (viz Majoranovu reprezentaci), ale čistě reálnými maticemi to možné není.

Diracova (standardní) reprezentace

Nejčastější volbou je Diracova reprezentace (díky své popularitě také nazývaná jako standardní):

{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}\mathbf {1} &0\\0&-\mathbf {1} \end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}},}

kde {\displaystyle \sigma _{i}} jsou Pauliho matice.

Weylova (chirální či spinorová) reprezentace

Tato reprezentace gama matic je užitečná pro popis málohmotných částic (ultrarelativistická limita). Takové případy vedou na Procovu rovnici pro bezhmotné fermiony, která popisuje například neutrina. Bezhmotné relativistické fermiony nejsou schopné měnit svou chiralitu a proto se vyplatí použít reprezentaci, která jednotlivé chirality odlišuje:

{\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{0}={\begin{pmatrix}0&\mathbf {1} \\\mathbf {1} &0\end{pmatrix}},\quad \gamma _{\mathrm {W} }^{i}={\begin{pmatrix}0&-\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}.}

Majoranova reprezentace

Jedná se o reprezentaci, která je používána hlavně pro případy, kde je třeba popsat částice a jejich antičástice najednou (to je v Diracově teorii obvyklé, ale Majoranova reprezentace mezi hmotou a antihmotou nerozlišuje). Transformační vztah, který ji spojuje se standardní reprezentací, se zapisuje pomocí násobení {\displaystyle \gamma ^{2}} ze standardní reprezentace:

{\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{2},\qquad \quad \ \ \,\gamma _{\mathrm {M} }^{1}=-\gamma ^{1}\gamma ^{2},\qquad \quad \ \ \ \gamma _{\mathrm {M} }^{2}=\gamma ^{2},\qquad \qquad \quad \ \ \,\gamma _{\mathrm {M} }^{3}=\gamma ^{2}\gamma ^{3},}
{\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{0}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma _{\mathrm {M} }^{1}={\begin{pmatrix}i\sigma _{3}&0\\0&i\sigma _{3}\end{pmatrix}},\quad \gamma _{\mathrm {M} }^{2}={\begin{pmatrix}0&-\sigma _{2}\\\sigma _{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma _{\mathrm {M} }^{3}={\begin{pmatrix}i\sigma _{1}&0\\0&i\sigma _{1}\end{pmatrix}}.}

Vlastnosti

Podobnost všech reprezentací

Mějme dvě čtveřice matic {\displaystyle \gamma ^{\mu }} a {\displaystyle \gamma '^{\mu }}, pak existuje matice {\displaystyle S} taková, že platí:

{\displaystyle \gamma '^{\mu }=S\gamma ^{\mu }S^{-1},}

kde {\displaystyle \mu =1,2,3,4}. Pokud navíc vyžadujeme, aby všechny matice {\displaystyle \gamma ^{\mu },\gamma '^{\mu }} byly hermitovské, pak je příslušná matice {\displaystyle S} navíc unitární.

Identity gama matic

Následující část je neúplný seznam identit, které jsou splněny pro libovolnou reprezentaci gama matic a plynou z antikomutačních relací. Mnohé z těchto vztahů jsou užitečné při výpočtech.

{\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}} a analogicky pro ostatní {\displaystyle \left(\gamma ^{j}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{j}}, kde {\displaystyle j=1,2,3,}
{\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0},}
{\displaystyle \left(\gamma _{5}\right)^{\dagger }=\gamma _{5},\quad \left(\gamma _{5}\right)^{2}=\mathbf {1}.}

Dále platí, že stopa násobku libovolného lichého počtu gama matic je 0:

{\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\gamma _{\mu _{1}}\gamma _{\mu _{2}}\dots \gamma _{\mu _{2N+1}}\right)=0\quad \forall \mu _{1},\mu _{2}\dots,\mu _{2N+1}=1,2,3,4,}
{\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right)=4\eta _{\mu \nu },}
{\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\rho }\gamma _{\sigma }\right)=4\left(\eta _{\mu \nu }\eta _{\rho \sigma }-\eta _{\mu \rho }\eta _{\nu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }\eta _{\rho \nu }\right).}

Poslední dvě identity lze zobecnit pro libovolný sudý počet členů:

{\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\gamma _{\mu _{1}}\gamma _{\mu _{2}}\dots \gamma _{\mu _{2N}}\right)=\sum \limits _{P}\sigma (P)\prod \limits _{k=1}^{N}\eta _{\mu _{k_{1}}\mu _{k_{2}}}.}

Zde {\displaystyle P} značí permutaci indexů do dvojic (přitom se nehledí na permutaci členů v rámci jedné dvojice).

{\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\gamma _{5}\right)=0,}
{\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\gamma _{5}\gamma _{\mu _{1}}\gamma _{\mu _{2}}\right)=0.}

Číst dál

Diracova rovnicekvantová relativistická rovnice Čtyřvektoranalogie pojmu vektor Minkowského prostorčtyřrozměrný reálný lineární vektorový prostor Tenzor energie a hybnostikvantitativní tenzor ve fyzice Lorentzova grupagrupa všech Lorentzových transformací Minkowského prostoru Christoffelův symbolmatematické objekty

V 18 jazycích

ČeštinacatalàDeutschEnglishespañolsuomifrançaisעבריתहिन्दीitaliano日本語한국어Nederlandspolskiportuguêsрусскийукраїнська中文

Text z Wikipedie, CC BY-SA 4.0 · Zdrojový článek