fyrir ákveðna tölu x er það veldi sem þarf að hefja grunntölu lografallsins a í til að fá upprunalega töluna út

Logri

2 min read
In 118 languages

Logri (einnig nefndur lógariþmi, lógaritmi, sjaldnar lygri) fyrir ákveðna tölu x er það veldi sem þarf að hefja grunntölu lografallsins a í til að fá upprunalega töluna út. Lografallið er andhverfa veldisfallsins með jákvæðan veldisstofn a sem uppfyllir eftirfarandi aljöfnu:

\log _{a}(a^{x})=x,

Sem dæmi má nefna að logri tölunnar 1000 með grunntölu 10 er 3, þar sem 10³ = 10 × 10 × 10 = 1000:

\log _{10}(1000)=3,

Aðferðin við að finna logra, með grunn a, tölunnar x er jafngilt því að finna hvert veldi tölunnar a þarf að vera til að fá út x.

Náttúrlegur logri, táknað með ln, er reiknaður með grunntölunni e en tugalogri (venjulegur lygri), með grunntölunni 10.

Aljöfnur logra

Til eru mikilvægar aljöfnur sem tengja logra saman:

Margfeldi, kvóti, veldi og rót

Logri af margfeldi er jafn summu logra þeirra talna sem eru margfaldaðar saman, logri kvóta er jafn mismuni logra deilistofns kvótans og logra deili kvótans, logri af n-ta veldi tölu er n margfaldað með logra tölunnar sjálfrar og logri n-tu rótar tölu er logri tölunnar deilt með n, eftirfarandi gildir fyrir allar tegundir lografalla.

	Formúla	Dæmi
margfeldi	$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\,$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5\,$
kvóti	$\log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)\,$	$\log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4$
veldi	$\log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)\,$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6\,$
rót	$\log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}\,$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$

Umreikningur milli grunntalna

Ef reikna skal lografall af x með grunntöluna k log_k(x) yfir á grunntöluna b nægir að deila í það með log_k(x):

\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.\,

Þar sem reiknivélar reikna oftast logra með grunntölu 10 eða e getur verið hentugt að snara þeim yfir á grunntölu b að eigin vali, en það er gert með:

\log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.\,

Eiginleikar lograns

Aðeins er hægt að taka logra af jákvæðri tölu því grunnur lograns er alltaf jákvæð tala og sama í hvaða veldi þú setur jákvæða tölu, aldrei er hægt að fá neikvæða tölu út.

Áður en tölvur komu til var logri með grunntölu a reiknaður með því að leggja saman óendanlegar raðir með ákveðinni nákvæmni. Þetta gerði reikning með logra afskaplega langann og leiðinlegan svo brugðið var á það ráð að búa til langar töflur sem innihéldu útreiknuð gildi fyrir algengustu grunntölurnar. Vegna reiknireglna 1 og 3 hér að ofan þurfti aðeins að reikna þannig töflur upp að fyrsta tugi. Tökum dæmi: til að reikna út log(123) var það skrifað sem