Polinom

10 min read
In 85 languages
7 images

A matematikában a polinom (avagy többtagú algebrai egész kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók nemnegatív egész kitevőjű hatványainak szorzatai, illetve ilyenek összegei szerepelnek. Például:

p(x,y,z,u) = 5x⁴y⁶ - 3xz³+11y¹⁵u⁷

q(x) = 2x² + 6x + 9

r(x,y) = x³ + 3x²y + 3x²y + y³

A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomoknak (avagy egytagú algebrai egész kifejezésnek) nevezzük (például p-nél az 5x⁴y⁶, a -3xz³ és a 11y¹⁵u⁷ tagok).

Történet

2 images

A polinom gyökeinek meghatározása, vagyis különféle algebrai egyenletek megoldása már régóta a matematika fontos problémái közé tartozik. A mai praktikus jelölések a 15. században kezdtek el kifejlődni, addig általában az volt a szokás, hogy egy egyenletet szavakkal írtak le vagy az ókori Kínában például a változók szerint „ábrákat” készítettek róluk.

Az egyenlőségjelet először Robert Recorde használta a 16. században, és ugyanebben az időben terjedt el a „+” jel használata az összeadásra, valamint a „−” jel használata a kivonásra. René Descartes volt az, aki elkezdte terjeszteni azt a ma is használt jelölésmódot, hogy a konstansok leírására az ábécé elejéről választunk betűket, míg a változókhoz az ábécé végéről. És ugyancsak ő volt az, aki először felső indexbe írta egy változó kitevőjét.

Az elemi algebrában

Az elemi algebrában P(x) egyváltozós polinom, ha:

P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n},\quad n\geq 0

Itt x a polinom változója, n a polinom foka. Vannak többváltozós polinomok is, ezekben több változó szerepel. Egy többváltozós polinom foka az a legnagyobb szám, amit az egyes tagok tényezőinek kitevőinek összeadásával kapunk. Minden kitevőnek nemnegatív egész számnak kell lennie.

A polinom tagjaiban a számot együtthatónak, az ismeretlenekből álló szorzatot monomnak vagy egytagnak nevezik. A nulladfokú tag együtthatója konstans tag. Az elsőfokúé lineáris, a másodfokúé kvadratikus, a harmadfokúé kubikus tag. Általában ha egy változó az első hatványon szerepel, akkor nem szokták a kitevőbe kiírni az 1-et. A 0 fokú monomokat konstans polinomoknak nevezzük.

Például az

8x^{3}-7x^{2}+36\,\!

egy egyváltozós, harmadfokú polinom. Az x fokszáma szerint csökkenő sorrendbe írva, az első monom foka 3, a másodiké 2, a harmadiké 0. A harmadfokú tag együtthatója 8, a másodfokúé -7, a konstans tag 36.

A valós együtthatós polinomfüggvények értelmezhetők a teljes valós számegyenesen, a komplex együtthatós polinomok pedig értelmezhetők a teljes komplex számsíkon.

Nullpolinom az a polinom, aminek összes együtthatója nulla. Ennek foka mínusz végtelen. Ha a főegyüttható egy, akkor a polinom normált.

A polinom szimmetrikus, ha bárhogy cseréljük fel (permutáljuk) benne az ismeretleneket, változatlan marad.

Egy másik jellegzetes polinomfajta a homogén fokszámú polinomok, melyekben a monomok foka egyenlő. Ilyenek szerepelnek például a binomiális tételben:

(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,

Egyneműnek nevezünk két (vagy több) monomot, ha csak együtthatóikban különböznek. Polinomokat úgy adunk össze, hogy az egynemű egytagúak együtthatóit összeadjuk:

{\begin{matrix}p(x,y)&=&5x^{2}y&+2xy^{2}&+6y^{3}\\q(x,y,z)&=&2x^{2}y&-7xy^{2}&+8yz^{6}\\&&&&\\(p+q)(x,y,z)&=&7x^{2}y&-5xy^{2}&+6y^{3}&+8yz^{6}\end{matrix}}

Az n ismeretlenes polinomoknak az egyneműek összevonása után legfeljebb

{\binom {n+k-1}{k}},

k fokú monomja lehet.

Az egynemű monomok összevonása után az n-edfokú polinomnak legfeljebb

{\binom {n+k}{k}}

monomja lehet.

A szorzás úgy történik, hogy „minden tagot minden taggal beszorzunk” és a keletkező szorzatokban az azonos változók hatványait az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával számítjuk ki. Például

p(x,y)=x^{2}+xy\,

q(x,z)=3x^{3}-7z^{2}\,

(p\cdot q)(x,y,z)=x^{2}\cdot 3x^{3}+x^{2}\cdot (-7z^{2})+xy\cdot 3x^{3}+xy\cdot (-7z^{2})=\,

=3x^{5}+(-7)x^{2}z^{2}+3x^{4}y+(-7)xyz^{2}\,

Emellett a számmal való szorzás művelete is értelmes: minden együtthatót beszorzunk az adott számmal. Például

p(x,y)=5x^{2}y+2xy^{2}+6y^{3},

3\cdot p(x,y)=3\cdot 5x^{2}y+3\cdot 2xy^{2}+3\cdot 6y^{3}=15x^{2}y+6xy^{2}+18y^{3},

Ha $f,g$ polinomok, akkor szorzatuk fokszáma becsülhető:

\deg(f+g)\leq \max(\deg f,\deg g)

Valós, illetve komplex polinomok esetén:

\deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g.

A polinomok halmaza zárt a helyettesítésre, azaz ha egy ismeretlenbe mindenhová polinomot helyettesítünk, akkor újra polinomot kapunk. Ez csak akkor igaz, ha a változók számát nem korlátozzuk, mert egy helyettesítés új változókat hozhat be. De ha csak a már meglevő változókat használja, akkor a változók száma megmarad.

Gyűrű fölötti polinomok

Nulladfokú (konstans) polinom, grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes

Elsőfokú (lineáris) polinom, grafikonja ferde egyenes

3 images

Polinomok tetszőleges gyűrű fölött definiálhatók, ekkor a polinom együtthatói a gyűrű elemei közül kerülnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test, akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test. A középiskolában egész, racionális vagy valós együtthatós polinomokkal találkozhatunk. Az algebra alaptételében komplex együtthatós polinomokról van szó. Hasznosak még a kvaternió együtthatós (tehát lényegében mátrix együtthatójú), vagy a modulo m maradékosztálybeli együtthatós (véges testbeli) polinomok is. Ha polinomgyűrű fölött veszünk polinomgyűrűt, akkor többváltozós polinomgyűrűhöz jutunk.

A változókat néha határozatlanoknak nevezik. Az egyes monomokban a változók kitevőinek összege adja meg az adott monom fokát. A polinom fokának a benne lévő monomok fokának maximumát tekintjük.

Gyűrű fölötti polinomok esetén az összeg fokának becslésére csak akkor használható a fenti képlet, ha a gyűrű integritási tartomány. Tehát integritási tartomány fölött

\deg(f\cdot g)=\deg f+\deg g,

általános esetben ${\mathord {\leq }}$ a becslés. A szorzat fokának becslése ugyanaz, mint valós fölött.

A lineáris algebrában adott n-re a legfeljebb n-edfokú adott test fölötti polinomok vektorteret alkotnak, aminek dimenziója n + 1.

A mátrixok karakterisztikus polinomját többek között a mátrixok diagonalizálásához használják.

Ha R gyűrű, akkor R[X] is gyűrű, amit polinomgyűrűnek neveznek. Ez megkapható úgy, mint R bővítése algebrailag független elemmel. A polinomokat egyértelműen lehet jellemezni együtthatóik véges sorozatával, ahol az összeadás tagonkénti összeadás, a szorzat konvolúció, és a konstanssal (gyűrűelemmel) való szorzás is tagonként kell végezni.

a+b:=(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}

és

a\cdot b:=\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}=\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}},

Ezzel a polinomgyűrű algebrát alkot. Habár ez a konstrukció nem használja a határozatlant, a behelyettesítés is értelmezhető műveletként. Ezzel behelyettesítési homomorfizmushoz jutunk. Ha az alapgyűrű kommutatív, egységelemes, nullosztómentes, akkor a polinomgyűrű is kommutatív, egységelemes, nullosztómentes lesz.

Különböző polinomok definiálhatják ugyanazt a polinomfüggvény, különösen ha vannak nullosztók, vagy ha a test véges. Például legyen $R$ a $\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\bar {0}},{\bar {1}},{\bar {2}}\}$ maradékosztálygyűrű, így az $f,g\in (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z})[X]$

f=X(X-{\bar {1}})(X-{\bar {2}})=X^{3}-{\bar {3}}X^{2}+{\bar {2}}X=X^{3}-X

és a

g=0

polinomok ugyanazt a függvényt állítják elő. Végtelen integritástartomány esetén ez nem fordulhat elő.

Polinomfüggvények

2 images

Ha R[X] az R gyűrű feletti polinomgyűrű és p = p(x) polinom, akkor a p által meghatározott polinomfüggvényen a

p:R\longrightarrow R;\quad x\mapsto p(x)

függvényt értjük.

Példák:

1. a komplex számok feletti q(z) = iz⁴ + 3iz - 5 polinom által meghatározott polinomfüggvény a

g: C

\rightarrow

C; z

\mapsto

iz⁴ + 3iz - 5

függvény

2. a modulo 5 maradékosztályok feletti r(x) = x⁴ polinom által meghatározott polinomfüggvény a

h: Z₅

\rightarrow

Z₅; x

\mapsto

x⁴

Véges gyűrű feletti polinomfüggvény nem jelöli ki egyértelműen azt a polinomot, melyből a polinomfüggvény keletkezett. A 2. példánál h nem más, mint a

h_{1}(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ ha }}x=0\\1&{\mbox{ ha }}x=1,2,3,4\end{matrix}}\right.

függvény éspedig a kis Fermat-tétel miatt. De ez ugyanaz, mint a h₂(x)= x⁸ polinomfüggvény, amely azonban más polinom által meghatározott. S míg x⁴ $\neq$ x⁸ (mint polinom), addig h₁ = h₂, mint függvény. Ez amiatt van, hogy míg polinomból végtelen sok van, addig R-ből R-be menő függvényből csak nⁿ db, amennyiben R számossága az n véges szám.

Helyettesítési érték, zérushely, gyök

Ha p ∈ R[X] polinom és α ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy p helyettesítési értéke α-ban a β ∈ R elem, ha a p által meghatározott polinomfüggvény α-n a β-t veszi föl értékül. Ezt a következőképpen jelöljük:

p(\alpha)=\beta \,

Ha p osztható az (x - α) elsőfokú polinommal, azaz létezik olyan q ∈ R[X] polinom, hogy

p(x)=(x-\alpha)\cdot q(x)

akkor azt mondjuk, hogy α ∈ R elem gyöke a p polinomnak és hogy (x-α) gyöktényezője p-nek.

Az x₀ ∈ R elem zérushelye a p polinomnak, ha x₀-ben a p helyettesítési értéke 0.

Bézout tétele – A p ∈ R[X] polinomnak az α ∈ R elem pontosan akkor gyöke, ha zérushelye.

Test fölött nemnulla polinom gyökeinek száma legfeljebb annyi, mint a fokszáma. A komplex számok körében, vagy más algebrailag zárt test fölött ezen kívül még az is igaz, hogy egy nemkonstans polinomnak pontosan annyi gyöke van (a multiplicitással számolva) ahányadfokú a polinom. Ez az algebra alaptétele.

A (multiplicitással számolva) pontosan n gyökű n-edfokú polinomok felírhatók ún. gyöktényezős alakban:

f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\dots (x-x_{n})

A jobb oldali alakban $a_{n}$ a polinom főegyütthatójának, $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ pedig a polinom gyökeinek felelnek meg. Végtelen gyűrű fölött teljesül a kölcsönös meghatározottság.

Gyökök meghatározása, becslése

Egész együtthatós polinom racionális gyökeinek meghatározásában segít a Rolle-féle gyöktétel. A jelöltek az x=p/q alakú racionális számok, ahol p és q relatív prímek, és p osztója a konstans tagnak, és q osztója a főegyütthatónak. Alacsony fokú, legfeljebb negyedfokú polinomok gyökei gyökjelekkel meghatározhatók (lásd megoldóképlet). Magasabb fokú polinomok nem oldhatók meg gyökjelekkel, ez az Abel-Ruffini-tétel.

A páratlan fokú valós együtthatós polinomoknak van legalább egy valós gyökük.

Az együtthatók és a fok alapján a gyökökre valós és komplex esetben is becslést lehet adni. Valós esetben a $B\in \mathbb {R} _{+}$ gyökkorlát, ha a polinom összes gyöke a $[-B,B]$ intervallumban található, vagyis a gyökök abszolút értéke nem nagyobb B-nél. B felső gyökkorlát, ha a polinom minden gyöke legfeljebb B. Hasonlóan definiálható az alsó gyökkorlát is.

A korlátokat normált, azaz 1 főegyütthatójú polinomokra adják meg; azonban mivel a nullától különböző konstanssal való szorzás (nullosztómentes esetben) nem változtatja meg a gyököket, a gyökök becsléséhez végig lehet osztani a főegyütthatóval. Legyen ekkor $N=\left\{k\in \{0,1,\dotsc,n-1\}\mid a_{k}<0\right\}$ a negatív együtthatók halmaza. Ennek méretét a továbbiakban $|N|$ jelöli.

Cauchy-szabály: egy felső gyökkorlát, $B=\max \left\{\left.\left(|N|\cdot |a_{i}|\right)^{\frac {1}{n-i}}\right|i\in N\right\}$
Newton-szabály: egy felső gyökkorlát, $B=\min\{x\in \mathbb {R}:f^{(i)}(x)\geq 0{\text{ minden }}i=0,\dotsc,n\}$
Lagrange és Maclaurin szabálya: egy felső gyökkorlát, $B=1+{\sqrt[{n-k}]{\alpha }}$ , ahol $\alpha =\max\{|a_{m}|:a_{m}<0\}$ a legnagyobb abszolút értékű negatív együttható abszolút értéke, és $k=\max\{m:a_{m}<0\}$ a legmagasabb kitevős negatív együttható kitevője.
Minden $B\in \mathbb {R} _{+}$ , amire teljesül, hogy $B^{n}\geq \sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|B^{i}$ , gyökkorlát, ami a komplex gyökök abszolút értékét is behatárolja. Ennek speciális esetei Gerschgorin tételei:
- $B=1+\max \nolimits _{i=0,\,\dotsc,\,n-1}|a_{i}|$ és
- $B=\max \left(1,\sum _{i=0}^{n-1}|a_{i}|\right)$ .

Komplex gyökkorlátok esetén is a gyökök abszolútértékét határolják be. B komplex gyökkorlát, ha a polinom gyökei a nulla középpontú, B sugarú körben helyezkednek el. Egyes alkalmazásokban néhány, adott számú gyökre is értelmeznek gyökkorlátot.

Komplex gyökkorlát minden $B\in \mathbb {R} _{+}$ , amire $|a_{k}|B^{k}\geq \sum _{i\in \{0,\dotsc,n\}\setminus \{k\}}|a_{i}|B^{i}$ teljesül. Ekkor a nulla körüli, B sugarú kör pontosan k gyököt tartalmaz. Az egyenlet mindig megoldható $k=0,n$ esetén, de a közbenső számokra nem biztos. Ez Rouché tételének következménye. $k=n$ esetén a fent már említett egyenlet adódik. A $k=0$ eset egy gyököktől mentes körlapot ad. Ekkor $1/B$ a reciprok polinom gyökkorlátja. Ha f polinom, akkor reciprok polinomja $x^{n}f(1/x)/a_{0}$ .

Helyettesítési érték kiszámítása: a Horner-módszer

A gyökök meghatározása magasabb fok és irracionális gyökök esetén nem egyszerű; a Newton-módszerrel becsülhetők. Azt meghatározni azonban, hogy egy komplex szám gyöke-e egy adott polinomnak, létezik egy módszer, amit William George Horner angol matematikus dolgozott ki. A Horner-elrendezés arra is alkalmas, hogy segítsen a Newton-módszernek a polinom összes gyökének becslésében.

A módszer működésének megértéséhez vegyük észre, hogy a polinomok a következő alakban is felírhatók:

p(x)=(\dots (a_{n}x+a_{n-1})x+\dots +a_{1})x+a_{0}

Tehát egy $\,\!\alpha$ komplex számról úgy tudjuk meg, hogy gyöke-e lesz-e a polinomunknak, hogy megnézzük a helyettesítési értékét az előző képlet szerint:

p(\alpha)=(\dots (a_{n}\alpha +a_{n-1})\alpha +\dots +a_{1})\alpha +a_{0}

A módszer lényeges eleme az ún. Horner-séma lesz, azaz hogy ezt a fenti egyenletet táblázatba rendezzük azért, hogy a számolást meg tudjuk gyorsítani:

	$\,\!a_{n}$	$\,\!a_{n-1}$	$\,\!a_{n-2}$	$\dots$	$\,\!a_{0}$
$\,\!\alpha$	$\,\!a_{n}$	$\,\!\alpha a_{n}+a_{n-1}$	$\,\!\alpha (\alpha a_{n}+a_{n-1})+a_{n-2}$	$\dots$	$\,\!p(\alpha)$

A fölső sorban a polinom együtthatói állnak. Az alsó sor első eleme a főegyüttható lesz, majd a következő tagokat úgy képezzük, hogy az előző tagot megszorozzuk $\,\!\alpha$ -val majd hozzáadjuk a soron következő együtthatót. Így tehát az alsó sor elemei megfelelnek a fenti képlet egyes zárójeleinek, tehát végül $\,\!a_{0}$ alatt $\,\!\alpha$ helyettesítési értéke áll.

Megjegyzések:

A Horner-séma második sorában szereplő számok éppen az $\,\!x-\alpha$ –val vett polinomosztás hányadosának együtthatói. Azaz ha egy gyököt megtaláltunk, szorzattá bonthatjuk a polinomunkat és az így kapott újabb polinomnak egy gyökét is próbálhatjuk megkeresni. Ezzel a módszerrel továbbhaladva eljuthatunk a polinom gyöktényezős alakjához.
Ha $\,\!\alpha$ helyettesítési értékére nem 0 jön ki akkor a kapott érték lesz az osztásunk maradéka.

Például vizsgáljuk meg, hogy a következő polinomnak gyöke-e a 3:

\,\!x^{3}-5x^{2}+11x-15

A feladathoz tartozó Horner-séma:

	1	-5	11	-15
3	1	3 $\cdot$ 1-5=-2	3 $\cdot$ (-2)+11=5	3 $\cdot$ 5-15=0

Tehát a 3 gyöke a polinomnak és az $\,\!x-3$ polinommal való leosztás után szintén a táblázatból leolvasva kapjuk, hogy a hányadospolinom az $\,\!x^{2}-2x+5$ lesz.

Gyökök és együtthatók közötti összefüggések

Legyenek a polinom együtthatói: $a_{n},a_{n-1},\dots a_{1},a_{0}$ , a gyökei pedig: $x_{1},x_{2},\dots x_{n}$ . Ekkor a polinom gyökei és együtthatói között a következő összefüggések állnak fenn:

{\frac {a_{0}}{a_{n}}}(-1)^{n}=x_{1}x_{2}\dots x_{n}

{\frac {a_{1}}{a_{n}}}(-1)^{n-1}=(x_{1}\dots x_{n-1}+\dots +x_{2}\dots x_{n})

\dots

{\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}(-1)^{2}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\dots +x_{n-1}x_{n}

{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}(-1)=x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}

Ezeket az összefüggéseket Viète-formuláknak nevezzük. Előállításuk úgy történik, hogy $\,\!p(x)$ gyöktényezős alakjában elvégezzük a beszorzást és összevetjük az így kapott együtthatókat az általános felírásból adódókkal.

Másodfokú polinomokra így kapjuk meg a formulákat:

\,\!p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-x_{1})(x-x_{2})

$\,\!a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}x^{2}-a_{2}x(x_{1}+x_{2})+a_{2}x_{1}x_{2}$

Ezekből adódik tehát hogy:

$\,\!a_{1}=-a_{2}(x_{1}+x_{2})$ és $\,\!a_{0}=a_{2}x_{1}\cdot x_{2}$

Analízis

A polinomok egyszerűen deriválhatók és integrálhatók:

P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

deriváltja

{\begin{aligned}P'(x)&=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+\dotsb +na_{n}x^{n-1}\\&=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}=\sum _{i=0}^{n-1}(i+1)a_{i+1}x^{i}\,.\end{aligned}}

egy primtív függvénye

{\begin{aligned}\int P(x)\,\mathrm {d} x&=a_{0}x+{\frac {1}{2}}a_{1}x^{2}+{\frac {1}{3}}a_{2}x^{3}+\dotsb +{\frac {1}{n+1}}a_{n}x^{n+1}\\&=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{i+1}}x^{i+1}=\sum _{i=1}^{n+1}{\frac {a_{i-1}}{i}}x^{i}\,.\end{aligned}}

Ezek a műveletek sem vezetnek ki a polinomok közül.

Más függvények közelíthetők polinomokkal, például Taylor-sorral, interpolációval, Bernstein-polinomokkal.

A valós és a komplex polinomok hatványok lineáris kombinációi, ezért lassabban nőnek, mint bármely exponenciális függvény, aminek kitevője egynél nagyobb.

A páratlan fokú valós polinomok értékkészlete $\mathbb {R}$ , azaz szürjektívek. Ha a főegyüttható pozitív, akkor $-\infty$ -ből jönnek, majd ingadoznak egy szakaszon, utána $+\infty$ -be mennek. Ha a főegyüttható negatív, akkor $+\infty$ -ből jönnek, ingadoznak egy szakaszon, majd $-\infty$ -be mennek.

A páros fokú polinomok értékkészlete pozitív főegyütthatóval $\left[y_{\mathrm {min} },\,\infty \right[$ , és negatív főegyütthatóval $\left]-\infty,\,y_{\mathrm {max} }\right]$ . Menetük: pozitív főegyütthatóval $+\infty$ -ből érkeznek, ingadoznak egy szakaszon, majd $+\infty$ -be mennek. Negatív főegyütthatóval $-\infty$ —ből jönnek, ingadoznak egy szakaszon, majd $-\infty$ -be mennek.

A polinomok végtelen sorok formájában függvények közelítésénél is használatosak. Ekkor a függvényeket Taylor-sorba fejtve kapunk hozzájuk határértékben tartó hatványsorokat. Ha ezeknek a végtelen soroknak csak véges alakjait tekintjük, akkor beszélünk Taylor-polinomokról.

Két a racionális számok teste feletti polinom hányadosát racionális függvénynek vagy racionális törtfüggvénynek hívjuk. Ezeknek az integrálása az integrálszámítás egyik alapváltozata. A művelet elvégzéséhez a parciális törtekre bontás módszerét szükséges alkalmazni.

Interpoláció

Az interpoláció módszerének segítségével $\,\!n$ különböző komplex számpárra, vagyis $n$ pontra a komplex számsíkon egyértelműen illeszthető (n–1)-edfokú polinom, amely áthalad a megadott pontokon.

Bizonyítás

Legyenek az adott pontpárok a következők: $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots (x_{n},y_{n})$ . Először az egyértelműséget igazoljuk. Ha $\,\!p(x)$ és $\,\!q(x)$ két a feltételeknek eleget tevő polinom, akkor $\,\!p(x)-q(x)$ egy olyan legfeljebb ( $\,\!n-1$ )-ed fokú polinom, amelynek $x_{1},x_{2},\dots,x_{n}$ gyöke. Az algebra alaptétele szerint ez csak akkor lehetséges, ha $p(x)-q(x)\equiv 0$ , vagyis $\,\!p(x)=q(x)$ .

Most konstruáljunk meg egy ilyen polinomot Lagrange módszerével. Ehhez konstruáljuk meg az ún. Lagrange-féle alappolinomokat:

l_{i}(z)={\frac {(z-x_{1})\dots (z-x_{i-1})(z-x_{i+1})\dots (z-x_{n})}{(x_{i}-x_{1})\dots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\dots (x_{i}-x_{n})}}=\prod _{j=1}^{n}{\frac {(z-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}}

Ezekre $\,\!l_{i}(x_{i})=1$ és $\,\!l_{i}(x_{j})=0$ , ha $i\neq j$ .

Tehát a $p(z)=\sum _{i=1}^{n}y_{i}l_{i}(z)$ polinom teljesíti a feltételeket.

Példa

Legyenek a pontok a következők: (-1;1), (0;2), (1;4); ekkor ezek lesznek a Lagrange-féle alappolinomok:

$l_{1}(x)={\frac {(x-0)(x-1)}{(-1-0)(-1-1)}}={\frac {1}{2}}(x^{2}-x)$

$l_{2}(x)={\frac {(x+1)(x-1)}{(0+1)(0-1)}}=-1(x^{2}-1)$

$l_{3}(x)={\frac {(x+1)(x-0)}{(1+1)(1-0)}}={\frac {1}{2}}(x^{2}+x)$

Ekkor a feltételeket kielégítő polinom ez lesz:

$p(x)=1\cdot \left({\frac {1}{2}}(x^{2}-x)\right)+2\cdot (-1(x^{2}-1))+4\cdot \left({\frac {1}{2}}(x^{2}+x)\right)={\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {3}{2}}x+2$

Általánosítások

A hatványsorok alakja:

f=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}

Ha nem foglalkozunk a konvergenciával, akkor a hatványsor formális, ami nem mindig állít elő függvényt. Ha egy bizonyos tartományon (nemcsak egy pontban) konvergens, és előállítja a függvényt, akkor egy analitikus függvényhez jutunk, amit újra vizsgálni lehet.

A Laurent-sorok alakja:

f=\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}X^{i}.

A Laurent-sorok a hatványsorokhoz hasonlóan vizsgálhatók.

Ha az összeg véges, de a monomokban tetszőleges valós hatványkitevőket megengedünk, akkor poszinomiális függvényekhez jutunk.

További információk

Alice és Bob - 26. rész: Alice és Bob átlépi a célvonalat

Források

Horváth Erzsébet: Lineáris algebra (Műegyetemi Kiadó, 2002)
Konsztantyin Alekszejevics Ribnyikov: A matematika története (Tankönyvkiadó, Budapest, 1968)
Nagy Attila (BME-TTK) Lineáris algebra c. előadásai
Beutelspacher: Lineare Algebra. 6. Auflage.
Holz, Wille: Repetitorium der Linearen Algebra, Teil 2.
Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Polynom című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

In 85 languages

Magyar Afrikaans العربية asturianu azərbaycanca башҡортса беларуская (тарашкевіца)беларуская български বাংলা bosanski català کوردی čeština чӑвашла Cymraeg dansk Deutsch Zazaki Ελληνικά English Esperanto español eesti euskara فارسی suomi français Frysk Gaeilge galego עברית हिन्दी hrvatski հայերեն Jaku Iban Bahasa Indonesia Ido íslenska italiano 日本語 ქართული қазақша ភាសាខ្មែរ 한국어 Latina lietuvių latviešu मगही Malagasy македонски മലയാളം मराठी Bahasa Melayu မြန်မာဘာသာ Nederlands norsk nynorsk norsk polski português română русский srpskohrvatski / српскохрватски සිංහල Simple English slovenčina slovenščina shqip српски / srpski svenska தமிழ்тоҷикӣ ไทย Tagalog Türkçe українська اردو oʻzbekcha / ўзбекча Tiếng Việt 吴语 ייִדיש Yorùbá 文言粵語中文

Text from Wikipedia, CC BY-SA 4.0 · Source article