Polinom

3 min read
In 85 languages
3 images

Polinom je matematička funkcija s jednom ili više varijabla koja se može zapisati kao linearna kombinacija umnožaka njihovih potencija, odnosno kao zbroj monoma sastavljenih od umnožaka konstante i kombinacija potencija svake od varijabla. Polinom n-tog stupnja u jednoj varijabli je funkcija

P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}

u kojoj su koeficijenti je $a_{0}$ , $a_{1}$ ,..., $a_{n}$ konstante i $a_{n}\neq 0$ . Broj $a_{0}$ zove se slobodni koeficijent, a broj $a_{n}$ vodeći koeficijent.

Polinomi se skraćeno zapisuju pomoću simbola za zbrajanje,

P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

Ponekad se polinomom zove sam polinomni izraz sa zbrojem raznih potencija neke veličine ili izraza, pa se pripadna funkcija navodi kao polinomna funkcija.

Stupanj polinoma $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$ za $a_{n}\neq 0$ je broj $n$ . Pišemo ${\text{deg}}P=n$ .

Polinomi imaju ključnu ulogu u proučavanju algebarskih brojeva te su česti u drugim granama znanosti poput fizike i računarstva.

Monomi, binomi, trinomi, itd.

Pribrojnici u polinomu nazivaju se monomi; oni su i sami polinomi s jednim članom. Monom je umnožak konstante i bilo koje kombinacije potencija varijabla. Tako su, na primjer

-7x^{2}

3x^{2}y

-{\tfrac {1}{4}}xy^{5}z^{2}

\xi y^{4}

monomi u varijablama $x$ , $y$ i $z$ .

Polinom koji u temeljnom obliku ima samo dva člana naziva se binom. Polinom s tri člana je trinom. Tako je npr. kvadrat binoma jednak trinomu u dvije varijable:

P(x,y)=(\underbrace {x-y} _{\text{binom}})^{2}=\underbrace {x^{2}-2xy+y^{2}} _{\text{trinom}}

P(x,y)=(\underbrace {x^{2}+y} _{\text{binom}})^{2}=\underbrace {x^{4}+2x^{2}y+y^{2}} _{\text{trinom}}

Nul-polinom

Ako je polinom jednak nuli za sve vrijednosti svojih varijabli nazivamo ga nul-polinom i za nj ne definiramo stupanj (ili se ponegdje formalno uzima da je njegov stupanj $-\infty$ ili $-1$ , ovisno o autoru).

Računske operacije s polinomima

Dva polinoma možemo zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti. Zbrajanje i množenje je komutativno te vrijede uobičajena algebarska pravila. Rezultat dijeljenja dva polinoma nije uvijek polinom: očigledan primjer je dijeljenje polinoma $n$ -tog stupnja polinomom $m$ -tog stupnja kada je $n<m$ .

Uočimo da oduzeti dva polinoma možemo tako da polinom koji je u funkciji umanjitelja pomnožimo s $(-1)$ te ga zbrojimo s polinomom umanjenikom.

Primjeri

Uzmimo $P(x)=x^{2}+x-2$ i $Q(x)=x-1$ .

Njihovi zbroj i umnožak su:

P(x)+Q(x)=x^{2}+2x-3

P(x)\cdot Q(x)=x^{3}-3x+2

Opišimo kako algoritamski podijeliti ova dva polinoma. Ovdje je, radi jednostavnosti, rezultat dijeljenja polinom. Želimo izračunati ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=R(x).$

Ta jednadžba ekvivalentna je s $x^{2}+x-2=(x-1)R(x).$ Prvi član polinoma $R(x)$ jednak je $x$ jer množenjem s $(x-1)$ mora dati član s jediničnim koeficijentom najveće potencije 2: $(x^{2}+x-2)=(x-1)({\color {Red}x}+\dots)$

Ostatak (...) je neki polinom $T(x)$ pa u prvom koraku imamo

(x^{2}+x-2)=(x-1)({\color {Red}x}+T(x))

(x^{2}+x-2)=x^{2}-x+(x-1)T(x)

Dobivamo $2x-2=(x-1)T(x)$ čime je problem dijeljenja sveden na dijeljenje polinoma stupnja nižeg za 1.

U drugom koraku rješavamo $2x-2=(x-1)T(x)$ .

$T(x)$ može jedino biti polinom stupnja 0 jer množeći $(x-1)$ ne smije dati potencije veće od 1: $2x-2=(x-1)({\color {Red}2}+\dots)$ .

Ostatak (...) može biti samo nulpolinom, tj. 0. Mogli smo uočiti da je $2x-2=(x-1)\cdot 2$ .

Rješenje je $R(x)=({\color {Red}x}+{\color {Red}2}+{\color {Red}0})$ , odnosno $R(x)=x+2$ .

Uporaba polinoma

3 images

Zbog jednostavnosti računanja s polinomima, posebno njihovog strojnog izvrjednjavanja, vrijedosti mnogih drugih funkcija često se aproksimiraju polinomom određenog stupnja na određenom intervalu. Ako je vrijednost funkcije poznata u konačno mnogo točaka, vrijednosti između točaka mogu se procijeniti interpolacijom iz polinoma koji u tim točkama daje egzaktne vrijednosti ili regresijom uz pomoć polinoma po volji izabranog stupnja koji po svim poznatim točkama daje najmanju pogrešku.

Nultočke polinoma

U primjeni, kao i u teoriji, često je potrebno znati u kojim točkama polinomi poprimaju vrijednost nula. Te se točke nazivaju nultočkama ili korijenima polinoma. Ako je $\alpha$ nultočka polinoma $P(x)$ , vrijedi $P(\alpha)=0$ . Prema Bézoutovom poučku za polinome, $(x-\alpha)$ tada dijeli $P(x)$ . Iz ovog poučka i osnovnog teorema algebre, koji kaže da svaki polinom stupnja većeg od nule ima nultočku u skupu kompleksnih brojeva, slijedi da svaki polinom n-tog stupnja u jednoj varijabli ima točno n nultočaka u skupu kompleksnih brojeva, s tim da pritom neke nultočke mogu biti višestruke kratnosti, odnosno da za neke nultočke može i $(x-\alpha)^{k}$ dijeliti $P(x)$ , gdje se najveći takav $k$ naziva kratnošću nultočke. Vrijedi i sljedeće: ako su $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ ,..., $\alpha _{n}$ kompleksne nultočke polinoma $P(x)$ s vodećim koeficijentom $a_{n}$ , on se može na jedinstven način zapisati kao umnožak n polinoma prvoga stupnja,