factograf

CS

Osmiúhelník

1 min čtení
V 74 jazycích
2 obrázky

Osmiúhelník

Osmiúhelník (cizím slovem oktagon) je rovinný geometrický útvar, mnohoúhelník s osmi vrcholy a osmi stranami.

Součet velikostí vnitřních úhlů konvexního osmiúhelníku je 1080° (6π).

Pravidelný osmiúhelník

Na pravidelný osmiúhelník lze například nahlížet jako by byl složen z osmi shodných rovnoramenných trojúhelníků, jejichž úhly při základně mají velikost ${\frac {3\pi }{8}}$ a při vrcholu ${\frac {\pi }{4}}$ . Jde tedy o příklad středové souměrnosti.

Parametry

Obsah pravidelného osmiúhelníku (v obrázku označený A) může být určen ořezáním čtverce (v obrázku jeho celková strana označena S).

Pro pravidelný osmiúhelník lze definovat tyto pojmy:

střed symetrie osmiúhelníku: S
vrcholy, po obvodu: V₁.. V₈
délka strany: a jako přímá vzdálenost dvou sousedních vrcholů
středy stran, po obvodu: A₁.. A₈

Pravidelný osmiúhelník lze rozdělit

na 8 stejných rovnoramenných trojúhelníků T o stranách R-R-a, mezi body V_nSV_n+1,
- jeho vrcholový úhel u bodu S je z definice právě osmina kruhu, tedy $\pi /4$ = 45°.
nebo na 16 stejných pravoúhlých trojúhelníků t o stranách R-r-a/2, mezi body A_nSV_n,
- se středovým úhlem $\pi /8$ = 22,5°.

Tím je určena vazba na Pythagorovu větu:

R={\sqrt {r^{2}+(a/2)^{2}}}

.

Navíc s vědomostí, že i goniometrické výrazy úhlu lze vyjádřit přesně:

cotg(22,5^{\circ })=1+{\sqrt {2}}

.

Pro pravidelný osmiúhelník pak lze určit poloměr

kružnice opsané R, který je definován délkou úsečky SV od středu k vrcholu:

a=2R\cdot sin(22,5^{\circ })

.

- tedy minimální ještě vnější průměr D, přibližně:

D≈2,61·a.

kružnice vepsané r, který je definován délkou úsečky SA od středu ke straně, tedy jako výška trojúhelníka T, po jeho symetrále:

r=a/2\cdot cotg(22,5^{\circ })=a/2\cdot (1+{\sqrt {2}})

nebo inverzně

a/2=r\cdot tg(22,5^{\circ })=r/(1+{\sqrt {2}})

.

- tedy maximální ještě vnitřní průměr d, přibližně:

d≈2,41·a.

Pro pravidelný osmiúhelník pak lze určit vlastnosti

obvod: $o=8\cdot a$ .
obsah:
- pomocí trojúhelníků z polárního dělení:

S=4ar={\frac {8r^{2}}{(1+{\sqrt {2}})}}

.

- oříznutím z úplného čtverce:

S=4r^{2}-a^{2}=(a{\sqrt {2}}+a+a{\sqrt {2}})^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}

.

Konstrukce osmiúhelníku

Konstrukce pravidelného osmiúhelníku pomocí kružítka a pravítka v 18 krocích:

Konstrukce pravidelného osmiúhelníku

Číst dál

Goniometrická funkcefunkce úhlu Mnohoúhelníkgeometrický rovinný útvar mající n úhlů a n stran

Šestnáctiúhelník

Pětiúhelníkmnohoúhelník s pěti stranami Sinusgoniometrická funkce

V 74 jazycích

Text z Wikipedie, CC BY-SA 4.0 · Zdrojový článek