Kružnice opsaná je kružnice, na níž leží všechny vrcholy rovinného útvaru.
Kružnice opsaná trojúhelníku
Střed kružnice opsané trojúhelníku je průsečík os stran trojúhelníku, poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Každému trojúhelníku lze opsat jedinou kružnici.
Vlastnosti kružnice opsané trojúhelníku
- Spojnice středu kružnice opsané a jednotlivých vrcholů trojúhelníka jsou kolmé k jednotlivým stranám jeho ortického trojúhelníka (tzv. Nagelova věta).
- Kružnice devíti bodů je stejnolehlým obrazem kružnice opsané se středem stejnolehlosti v těžišti trojúhelníka a koeficientem κ = – 0,5, její poloměr je tedy poloviční.
- Středem úsečky spojující střed kružnice opsané a Lemoinův bod je zároveň středem první Lemoinovy kružnice.
Simsonova přímka
Pokud z libovolného bodu X kružnice opsané spustíme kolmice k jednotlivým stranám, paty kolmic leží na přímce. Nazývá se Simsonova přímka. Pokud tento bod X spojíme s ortocentrem (průsečík výšek trojúhelníka), pak Simsonova přímka prochází středem této úsečky. Simsonova přímka se jmenuje podle anglického matematika Roberta Simsona (1687–1768). Někdy se označuje také jako Wallaceova přímka.
Popis obrázku
Kružnice opsaná a Simsonova přímka:
- ABC
- a, b, c – strany
- oa, ob, oc – osy stran,
- O – průsečík os stran (střed kružnice opsané),
- X – libovolný bod, ležící na kružnici opsané
- ka, kb, kc – kolmice na strany, spuštěné z bodu X
- Sa, Sb, Sc – paty kolmic ka, kb, kc
- s – Simsonova přímka
- va, vb, vc – výšky,
- V – průsečík výšek (ortocentrum)
- S – střed úsečky VX
Thaletova kružnice
Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku se nazývá Thaletova kružnice. Střed Thaletovy kružnice leží ve středu přepony trojúhelníku. Máme-li např. trojúhelník ABC, říkáme, že Thaletova kružnice je sestrojena nad průměrem AB.
Pro každou úsečku AB platí, že Thaletova kružnice sestrojená nad průměrem AB (s vyjmutím bodů A a B) je množinou vrcholů C všech pravoúhlých trojúhelníků ABC s přeponou AB.
Výpočet v kartézských souřadnicích
Kartézské souřadnice středu opsané kružnice lze vypočíst podle vzorce
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\S_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0bc705b01ebf6a7d2f370381651822ae0a9c32)
přičemž pomocná hodnota D se vypočte
![{\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c6178eff86289b6ec6f7dd49c95d675180f944)
- Indexy x a y označují x a y souřadnice vrcholů trojúhelníka (A,B,C) a středu kružnice S.
Kružnice opsaná čtyřúhelníku
Střed kružnice opsané čtverci nebo obdélníku je průsečík úhlopříček daného rovnoběžníku.
