Delbarhet

1 min read
In 69 languages
2 images

Ett heltal ${\textstyle a}$ är delbart med ett annat heltal ${\textstyle b}$ om det finns ett heltal ${\textstyle k}$ så att ${\textstyle a=b\cdot k}$ . Man säger också att " ${\textstyle b}$ är en delare (eller divisor) i ${\textstyle a}$ " eller att " ${\textstyle b}$ delar ${\textstyle a}$ ". I dagligt tal säger man att ${\textstyle a}$ är jämnt delbart med ${\textstyle b}$ .

Att ${\textstyle b}$ delar ${\textstyle a}$ skrivs ofta ${\textstyle b|a}$ .

Skillnad mellan delbarhet och division

Delbarhet är en matematisk relation och bör inte sammanblandas med operationen "delat med", division. Utsagan

3|6

är en sann utsaga, därför att det finns minst ett heltal, nämligen talet 2, som multiplicerat med 3 ger produkten 6. Uttrycket

{\frac {6}{3}}

har värdet 2, därför att 2 är det enda tal som multiplicerat med 3 ger produkten 6. Likaså är utsagan

0|0

en sann utsaga, därför att det finns minst ett heltal (exempelvis talet 2867) som multiplicerat med 0 ger produkten 0. Däremot har uttrycket

{\frac {0}{0}}

inte något definierat värde. Division med noll som nämnare är inte definierat; men delbarhet med 0 som delare är helt accepterat.

Exempel

${\textstyle 5|15}$ , eftersom ${\textstyle 15=3\cdot 5}$
${\textstyle (-5)|15}$ , eftersom ${\textstyle 15=(-3)\cdot (-5)}$
${\textstyle b|0}$ för alla ${\textstyle b}$ , eftersom ${\textstyle 0=b\cdot 0}$
${\textstyle a|a}$ för alla ${\textstyle a}$ , eftersom ${\textstyle a=a\cdot 1}$

Egenskaper

Enkla satser om delbarhet (gäller för alla heltal ${\textstyle a}$ , ${\textstyle b}$ , ${\textstyle c}$ ):

Om ${\textstyle a|b}$ , så ${\textstyle a|bc}$
Om ${\textstyle c|a}$ och ${\textstyle c|b}$ , så ${\textstyle c|(ax+by)}$ för alla heltal x och y
Om ${\textstyle a|b}$ och ${\textstyle b|c}$ , så ${\textstyle a|c}$

Om ${\textstyle a}$ och ${\textstyle b}$ är positiva heltal och $a|b$ , så är värdet av uttrycket ${b \over a}$ ett positivt heltal, och ${b \over a}|b$ .

Detta medför att ${\textstyle b}$ har ett udda antal positiva delare om och endast om ${b \over a}=a$ för något positivt heltal ${\textstyle a}$ , alltså om och endast om ${\textstyle b}$ är en heltalskvadrat.

Om ${\textstyle a}$ är ett heltal större än 1 och vars enda delare är ${\textstyle \pm 1}$ och ${\textstyle \pm a}$ sägs ${\textstyle a}$ vara ett primtal.