Torus

1 min read
In 71 languages
6 images

Ko se razdalja do osi vrtenja manjša, krožni torus postane vretenasti torus, ki pa se nazadnje izrodi v sfero.

Torus je zmnožek dveh krožnic. V prikazanem primeru se zavrti se rdeča krožnica zavrti okoli osi, ki jo določa vijoličn akrožnica. R je polmer vijolične krožnice, r je polmer rdeče krožnice.

5 images

Tórus (ali svítek) je rotacijska ploskev, ki nastane z vrtenjem krožnice okrog osi, ki je koplanarna s krožnico. V večini primerov predpostavljamo, da se os ne dotika krožnice. Telo, ki pri tem nastane, se imenuje tóroid.

Rod torusa je enak 1.

Geometrija

Torus lahko definiramo v parametrični obliki

x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,

y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,

z(u,v)=r\sin {v}\,

kjer je

$u,v\,$ parametra (v intervalu $[0,2\pi)\,$ )
$R\,$ razdalja od središča cevi torusa do središča torusa
$r\,$ polmer cevi torusa

Razdalji $R\,$ in $r\,$ imenujemo tudi "veliki polmer" in "mali polmer".

Implicitna oblika enačbe torusa v kartezičnem koordinatnem sistemu za torus, ki je radialno simetričen na z-os je

\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2},\,\!

ali v drugačni obliki, če je $f(x,y,z)=0\,$ :

f(x,y,z)=\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}-r^{2}\,

Če odstranimo kvadratni koren, dobimo enačbo četrte stopnje

(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!

Površina in prostornina torusa

Površina torusa je enaka

P=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,

Prostornina pa je

V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)\,

Topologija

Topološko je torus zaprta ploskev, ki je zmnožek dveh krožnic S¹ × S¹. Takšen topološki torus se imenuje tudi Cliffordov torus.

n-kratni torusi

dvojni torus

trojni torus

V teoriji ploskev ima izraz n-torus drugačen pomen. Namesto, da bi to pomenilo zmnožek n krožnic, to pomeni povezano vsoto n dvorazsežnih torusov.

Običajni torus je na ta način 1-torus, 2-torus imenujemo dvojni torus, 3-torus je trojni torus in tako dalje. Vedno pa lahko rečemo, da je n-torus orientabilna ploskev

Toroidni poliedri

Poliedri s topološkim tipom torusa se imenujejo toroidni poliedri.

Večrazsežni torusi

Torus lahko posplošimo na večje število razsežnosti. Na ta način dobimo n-razsežne toruse. Običajni torus je zmnožek prostorov dveh krožnic. N-razsežni torus (imenujemo ga tudi n-torus) pa je zmnožek $n\,$ krožnic, kar lahko zapišemo kot