jednorozmerný základný geometrický útvar

Priamka

2 min read
In 115 languages

Priamka je jednorozmerný základný geometrický útvar.

Priamka je nekonečne tenká, nekonečne dlhá, dokonale rovná krivka (pojem krivka v matematike obsahuje aj „rovné krivky“). V euklidovskej geometrii pre každé dva rôzne body existuje práve jedna priamka, ktorá oboma prechádza. Táto priamka predstavuje najkratšiu spojnicu medzi dotyčnicovými bodmi.

Z fyzikálneho hľadiska je priamka trajektória fotónu neovplyvneného gravitáciou.

Označovanie

Priamka sa znázorňuje rovnou čiarou, označuje sa malým písmenom, napr. $a,b,c,...$ . Priamka prechádzajúca dvoma bodmi $A,B$ sa tiež označuje ${\begin{matrix}\leftrightarrow \\AB\\\end{matrix}}$ .

Znázornenie:

Algebrický zápis

Priamku v rovine môžeme algebraicky opísať pomocou lineárnych rovníc alebo lineárnych funkcií.

Tento intuitívny koncept priamky môžeme formalizovať niekoľkými spôsobmi. Ak je geometria postavená axiomaticky (ako v Eukleidovych Základoch a neskôr vo Foundations of Geometry Davida Hilberta), potom priamky nie sú vôbec definované, ale axiomaticky charakterizované svojimi vlastnosťami. "Všetko, čo spĺňa axiómy pre priamku, je priamka." Zatiaľ čo Eukleides definoval priamku ako "dĺžku bez šírky", v neskorších vyjadreniach túto hmlistú definíciu nepoužíval.

V Eukleidovskom priestore Rⁿ (a analogicky vo všetkých ostatných vektorových priestoroch) definujeme priamku L ako podmnožinu v tvare

L=\{\mathbf {a} +t\mathbf {b} \mid t\in \mathbb {R} \}

kde a a b sú vektory v Rⁿ a b je nenulové. Vektor b udáva smer priamky a a je bod na priamke. Tú istú priamku môžeme definovať pomocou rôznych kombinácií a a b.

Rovinná priamka

V R² je každá priamka L popísaná lineárnou rovnicou v tvare

L=\{(x,y)\mid ax+by=c\}

s konštantnými reálnymi koeficientami a, b a c takými, že a a b nie sú obidva súčasne nulové (pozri Lineárne rovnice pre iné tvary). Dôležité vlastnosti takto definovaných priamok sú ich sklon, priesečník s osou x a priesečník s osou y. Excentricita priamky je nekonečno.

Normálový vektor rovinnej priamky

Ak rovinnú priamku vyjadríme všeobecnou rovnicou v tvare

ax+by+c=0

kde a, b, c ∈ R, pričom a ≠ 0 ∨ b ≠ 0,

potom normálový vektor k priamke bude mať súradnice (a,b)

Smernicové vyjadrenie rovinnej priamky

Smernicové vyjadrenie priamky so smernicou k, kde k ≠ 0, je:

y=kx+q

Smernicové vyjadrenie priamky môžme získať tak, že ekvivalentnými úpravami všeobecnej rovnice rovinnej priamky vyjadríme y.

Priestorová priamka

V R³ sa dá priamka L definovať ako priesečník dvoch rovín, pomocou sústavy ich lineárnych rovníc:

L=\{(x,y,z)\mid (a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1})\land (a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2})\}

(definíciu je nutné rozšíriť o podmienky pre koeficienty $a_{1}$ až $d_{2}$ , ktoré zaručia, že roviny budú rôznobežné).

Parametrické vyjadrenie

Priamka v Rⁿ sa dá taktiež vyjadriť parametricky: priamka prechádzajúca bodom $A(a_{1};a_{2};...a_{n})\,$ so smerovým vektorom $v(v_{1};v_{2};...;v_{n})\,$ je množina bodov $L(x_{1};x_{2};...;x_{n})\,$ , pre ktoré existuje skalár k taký, že

\left\{{\begin{matrix}x_{1}=a_{1}+kv_{1}\\x_{2}=a_{2}+kv_{2}\\...\\x_{n}=a_{n}+kv_{n}\end{matrix}}\right.

Špeciálny prípad priamky je os.

Vzájomná poloha bodu a priamky

Tri alebo viac bodov, ktoré ležia na tej istej priamke, sa nazývajú kolineárne.

Ak ležia tri body na priamke, tak vždy leží práve jeden z nich medzi ostatnými dvoma. Ak leží bod $B$ medzi bodmi $A$ a $C$ , potom bod $B$ označíme ako vnútorný bod úsečky $AC$ .

Bod $X$ ležiaci na priamke $p$ ju delí na dve polpriamky. Ak je bod $A$ vnútorným bodom jednej z polpriamok, potom pre túto polpriamku označujeme ${\overrightarrow {XA}}$ . Opačnú polpriamku k polpriamke ${\overrightarrow {XA}}$ značíme ${\overleftarrow {XA}}$ .

Vzájomná poloha priamok

Dve rôzne priamky ležiace v tej istej rovine môžu byť buď rovnobežné a nikdy sa nepretnú (nemajú žiaden spoločný bod), alebo rôznobežné a pretnú sa v práve jednom bode, priesečníku. Dve roviny sa pretínajú v najviac jednej priamke, nazývanej priesečnica. Vo viacrozmerných priestoroch ale nemusia ani byť rovnobežné, ani sa pretínať, a nazývajú sa mimobežky.

Keď sa obe priamky rovnajú, hovoríme im, že sú totožné'.

Priamku rôznobežnú s rovnobežkami $p,q$ označujeme ako priečku rovnobežiek $p,q$ .