U matematici, linearno preslikavanje (takođe linearna transformacija ili linearni operator) je funkcija između dva vektorska prostora, koja očuvava operacije sabiranja vektora i skalarnog množenja. Izraz linearna transformacija se često koristi, posebno za linearna preslikavanje iz nekog vektorskog prostora u samog sebe (endomorfizmi).
U jeziku apstraktne algebre, linearno preslikavanje je homomorfizam vektorskih prostora, ili morfizam u kategoriji vektorskih prostora nad datim poljem.
Definicija i direktne posledice
Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem K. Funkcija f: V → W je linearno preslikavanje ako za svaka dva vektora x i y iz V i svaki skalar a iz K, važe sledeća dva uslova:
aditivnosthomogenostOvo je ekvivalentno zahtevu da za sve vektore x1,..., xm i skalare a1,..., am, važi jednakost
Ponekad može da se uzme da su V i W vektorski prostori nad različitim poljima. Tada je neophodno odrediti koje od ovih polja se uzima u definiciji linearnosti. Ako su V i W vektorski prostori nad poljem K kao u gornjem slučaju, radi se o K-linearnim preslikavanjima. Na primer konjugacija kompleksnih brojeva je R-linearno preslikavanje C → C, ali nije C-linearno.
LInearno preslikavanje iz V u K (gde se K posmatra kao vektorski prostor nad samim sobom) se naziva linearni funkcional.
Iz definicije direktno sledi da je f(0) = 0. Stoga se linearna preslikavanja ponekad nazivaju homogenim linearnim preslikavanjima (vidi: linearna funkcija).
Primeri
- Identiteta i nula-preslikavanje su linearni.
- Za realne brojeve, preslikavanje
nije linearno.
- Za realne brojeve, preslikavanje
nije linearno.
- Ako je A m × n matrica, onda A definiše linearno preslikavanje iz Rn u Rm tako što šalje vektor kolona x ∈ Rn u vektor kolona Ax ∈ Rm. Obratno, svako linearno preslikavanje između konačno-dimenzionih vektorskih prostora se može predstaviti na ovaj način.
- Integral daje linearno preslikavanje iz prostora svih integrabilnih funkcija realne vrednosti na nekom intervalu u R
- Diferenciranje je linearno preslikavanje iz prostora svih diferencijabilnih funkcija u prostor svih funkcija.