U(1)

1 мин чтения
На 17 языках

$U(1)$ (унитарная группа порядка 1) — мультипликативная абелева группа всех комплексных чисел, равных по модулю единице: $\{z\in \mathbb {C}:|z|=1\}$ . Является одномерной группой Ли, изоморфна группе $SO(2)$ вращений плоскости и диффеоморфна окружности.

Названия и обозначения

Группа называется унитарной, так как комплексное число, по модулю равное единице, можно понимать как унитарную матрицу размера $1\times 1$ . Данная группа естественным образом изоморфна группе $SO(2)$ вращений вещественной плоскости (так как комплексную плоскость можно рассматривать как вещественное двумерное пространство). Обозначается иногда как $T$ или $\mathbb {T}$ в связи с тем, что квадрат этой группы $\mathbb {T} \times \mathbb {T}$ представляет собой тор; в некоторых областях математики торами называют произведения нескольких групп $\mathbb {T}$ , не обязательно двух; см. напр. Максимальный тор.

$U(1)$ упоминается также как комплексная (единичная) окружность (в комплексном анализе: $\partial D$ ) или просто «окружность» ( $S$ или $S^{1}$ ).

Некоторые свойства

Группа $U(1)$ компактна и является единственно возможной (вещественной) одномерной компактной и связной группой Ли. В любой компактной группе Ли положительной размерности можно найти подгруппу, изоморфную $U(1)$ .

Группа $U(1)$ не является односвязной.

Элементарное толкование

Элементы группы $U(1)$ фактически определяют величину угла: комплексное число $z$ группы можно записать как $z=e^{i\phi }$ (причём $\phi$ будет уже вещественным), а умножение комплексных чисел перейдёт в сложение углов. Таким образом, группу $U(1)$ можно понимать как группу поворотов окружности, или же группу поворотов $SO(2)$ всей плоскости вокруг начала координат.

Углы, различающиеся на целое число оборотов ( $2\pi n$ , если мерить угол в радианах), будут совпадать. Например, сумма двух поворотов на $120^{\circ }=2\pi /3$ и $240^{\circ }=4\pi /3$ будет равна нулю. Таким образом, группа $U(1)$ изоморфна факторгруппе ${\mathbb {R} }/2\pi {\mathbb {Z} }$ группы вещественных чисел по модулю $2\pi$ . Если измерять угол в оборотах ( $2\pi =360^{\circ }$ ), то $U(1)\approx {\mathbb {R} }/{\mathbb {Z} }$ — группа дробных частей вещественных чисел.

Применение

Группа $U(1)$ является важнейшим объектом в теории двойственности Понтрягина; через неё определяется преобразование Фурье. Часто используется в любом контексте, вовлекающем комплексные числа, зачастую без прямого её упоминания как группы («умножение на число, по модулю равное единице» и т. д.).

В физике калибровочная $U(1)$ -теория — электродинамика (с уравнениями Максвелла в качестве классических уравнений движения). В квантовой механике $U(1)$ — «физически неразличимые» преобразования вектора состояния системы, не меняющие ничего наблюдаемого (то есть не меняющие ничего, в принципе доступного наблюдению). См. также Калибровочная инвариантность.

На свойствах $U(1)$ основан метод тригонометрических сумм.

Читать дальше

Характер группыгомоморфизм групп в мультипликативную группу поля Изоморфизм групп

Комплексное числорасширение поля вещественных чисел

Комплексная плоскостьгеометрическое представление множества комплексных чисел C Представление группы Ли

Кватернионсистема гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел

На 17 языках

Русский العربية català Deutsch English español français Bahasa Indonesia italiano 日本語 한국어 Nederlands polski português українська 粵語中文

Текст из Википедии, CC BY-SA 4.0 · Статья-источник