часть прямой линии

Отрезок

2 мин чтения
На 76 языках

Отрезок AB (выделен красным)

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок в геометрии

В евклидовом пространстве отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки $A$ и $B$ , обозначается символом $AB$ . Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают $AB$ или $|AB|$ .

Направленный отрезок

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки $AB$ и $BA$ представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным отрезком или закреплённым вектором. Например, направленные отрезки $AB$ и $BA$ не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Это приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.

Отрезок числовой прямой

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел $\{x\}$ , удовлетворяющих неравенству $a\leq x\leq b$ , где заранее заданные вещественные числа $a$ и $b$ $(a<b)$ называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа $x$ , удовлетворяющие неравенству $a<x<b$ , называются внутренними точками отрезка.

Отрезок обычно обозначается $[a,b]$ :

[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число $|a-b|=b-a$ называется длиной числового отрезка $[a,b]$ .

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой $\{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}$ .

Система сегментов обозначается $\{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }$ . Подразумевается, что каждому натуральному числу $n$ поставлен в соответствие отрезок $[a_{n},b_{n}]$ .

Система сегментов $\{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }$ называется стягивающейся, если

каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;
$\forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]$
соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.
$\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0$

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

\forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}]

Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности.

Неперекрывающиеся отрезки

Два отрезка называются неперекрывающимися, если они пересекаются не более чем по одной точке.

Множество отрезков, в котором любые два отрезка не перекрываются, называется системой неперекрывающихся отрезков.

Конечная система неперекрывающихся отрезков, каждый из которых включается в отрезок $[a;b]$ , называется подразбиением отрезка $[a;b]$ .

Подразбиение отрезка $[a;b]$ такое, что его объединение даёт весь отрезок $[a;b]$ , называется разбиением отрезка $[a;b]$ .

Читать дальше

Промежуток (математика)непрерывное подмножество вещественной прямой

Расширенная числовая прямая

Вещественное числоматематическая абстракция результата измерения, непрерывное упорядоченное поле Предельная точка Критерий Коши Предел числовой последовательности

На 76 языках

Текст из Википедии, CC BY-SA 4.0 · Статья-источник