În matematică, în special în analiza numerică, eroarea de aproximare reprezintă o abatere semnificativă între o valoare exactă și o aproximație a sa. Această eroare inerentă în aproximare poate fi exprimată în două moduri: ca o eroare absolută, care indică mărimea numerică directă a acestei discrepanțe, indiferent de scara valorii reale, sau ca o eroare relativă, care oferă o măsură scalată a erorii, considerând raportul dintre eroarea absolută și valoarea exactă a datelor, oferind astfel o evaluare în context a semnificației erorii.
O eroare de aproximare poate să apară din diverse motive, cum ar fi limitările legate de precizia de calcul a mașinii, unde sistemele digitale nu pot reprezenta toate numerele reale cu o acuratețe perfectă, ceea ce duce la trunchierea sau rotunjirea inevitabilă. O altă sursă obișnuită este eroarea de măsurare, care provine inerent din limitările practice ale instrumentelor, factorii de mediu sau modul de observare (de exemplu, dacă lungimea reală a unei foi de hârtie este exact 29,7 cm, dar rigla de măsurare permite doar o estimare de 1 cm, această constrângere ar putea duce la o măsurare înregistrată de 30 cm, introducând astfel o eroare).
Conceptul esențial de stabilitate numerică asociat unui algoritm servește la indicarea măsurii în care erorile sau perturbațiile inițiale prezente în datele de intrare ale algoritmului sunt susceptibile de a se propaga și potențial de a se amplifica în erori substanțiale în rezultatul final. Algoritmii caracterizați ca fiind stabili numeric sunt robuști în sensul că rezultatul lor nu este afectat de o eroare semnificativ amplificată, chiar și atunci când datele de intrare sunt ușor inexacte. Dimpotrivă, algoritmii instabili numeric pot determina o creștere dramatică a erorilor din cauza unor mici modificări ale datelor de intrare, ceea ce face ca rezultatele lor să fie nesigure.
Definiție formală
Fiind dată valoarea exactă v, o aproximare vaprox estimează pe v, unde mărimea erorii absolute este mărginită de o valoare pozitivă ε > 0, dacă este valabilă următoarea inegalitate:
Similar, vaprox aproximează valoarea v, unde mărimea erorii relative este mărginită de o valoare pozitivă η > 0, cu condiția ca v să nu fie zero (v ≠ 0), dacă este satisfăcută inegalitatea următoare:
Această definiție asigură că η este o limită superioară a raportului dintre eroarea absolută și mărimea valorii reale. Dacă v ≠ 0, atunci eroarea relativă reală este calculată ca:
Eroarea procentuală este o modalitate intuitivă de a exprima eroarea relativă, scalând efectiv valoarea erorii relative la un procent din valoarea reală, pentru o interpretare și o comparare mai ușoară în diferite contexte:
Limita erorii definește riguros limita superioară stabilită fie pentru mărimea relativă, fie pentru cea absolută a unei erori de aproximare. O astfel de limită oferă astfel o garanție formală asupra abaterii maxime posibile a aproximării de la valoarea reală, ceea ce este esențial în aplicațiile care necesită niveluri cunoscute de precizie.
Exemple
Pentru a ilustra aceste concepte cu un exemplu numeric, fie o situație în care valoarea exactă este 50, iar aproximarea corespunzătoare este 49,9. În acest scenariu particular, eroarea absolută este exact 0,1 (calculată ca |50 − 49,9|), iar eroarea relativă se calculează ca raportul dintre eroarea absolută 0,1 și valoarea reală 50, egală cu 0,002. Această eroare relativă poate fi exprimată și ca 0,2 %. Într-un cadru mai practic, cum ar fi atunci când se măsoară volumul de lichid într-un pahar de 6 ml, dacă citirea instrumentului indică 5 ml, în timp ce volumul real este de fapt 6 ml, procentul de eroare pentru această situație particulară de măsurare este, rotunjit la o zecimală, de aproximativ 16,7 % (calculat ca |(6 ml − 5 ml) / 6 ml| × 100 %).
Utilitatea erorii relative devine evidentă în special atunci când este utilizată pentru a compara calitatea aproximărilor pentru numere care au mărimi foarte diferite. De exemplu, aproximarea numărului 1000 cu o eroare absolută de 3 are ca rezultat o eroare relativă de 0,003 (sau 0,3 %). În contextul majorității aplicațiilor științifice sau inginerești, aceasta este îconsiderată o aproximare semnificativ mai puțin precisă decât aproximarea numărului mult mai mare, 1000000, cu o eroare absolută identică, de 3. În acest ultim caz eroarea relativă este de doar 0,000003 (sau 0,0003 %). Această comparație evidențiază clar modul în care eroarea relativă oferă o evaluare mai potrivită în contex a preciziei, în special atunci când se lucrează cu valori cu diferite ordine de mărime.
Există două caracteristici asociate cu interpretarea și aplicarea erorii relative, care ar trebui întotdeauna avute în vedere. În primul rând, eroarea relativă devine nedefinită matematic ori de câte ori valoarea reală, v, este zero, deoarece această valoare reală apare la numitor, iar împărțirea cu zero este o operație nedefinită. În al doilea rând, conceptul de eroare relativă este interpretabil consecvent numai atunci când măsurătorile luate în considerare sunt efectuate pe o scală comparabilă. Acest tip de scală este caracterizat de un punct zero real, nearbitrar, care semnifică absența completă a mărimii măsurate. Dacă această condiție a unei scale nu este îndeplinită (de exemplu, atunci când se utilizează scale de interval, cum ar fi temperatura Celsius), eroarea relativă calculată poate deveni foarte sensibilă la alegerea unităților de măsură, ceea ce poate duce la interpretări înșelătoare. De exemplu, atunci când o eroare absolută într-o măsurătoare de temperatură dată pe scara Celsius este de 1 °C, iar valoarea reală este de 2 °C, eroarea relativă este de 0,5 (sau 50 %, calculată ca |1 °C / 2 °C|). Totuși, dacă exact aceeași aproximare, reprezentând aceeași diferență fizică de temperatură, este făcută folosind scara Kelvin (care este o scală unde 0 K reprezintă zero absolut), o eroare absolută de 1 K (echivalentă ca mărime cu o eroare absolută de 1 °C) cu aceeași valoare reală de 275,15 K (care este echivalentă cu 2 °C) dă o eroare relativă semnificativ diferită, de aproximativ 0,00363, sau aproximativ 3,63×10−3 (calculată ca |1 K / 275,15 K|). Această deosebire subliniază importanța scalei de măsurare folosite.
Comparare
Atunci când se compară comportamentul și caracteristicile intrinseci ale acestor două tipuri fundamentale de erori, este important să se recunoască semnificațiile lor diferite în operațiile aritmetice comune.
Erorile relative sunt deosebit de sensibile la adunarea unei constante diferite de zero la valorile adevărate și aproximative subiacente, deoarece o astfel de adăugare modifică valoarea de bază față de care este relativizată eroarea, modificând astfel raportul. Însă erorile relative rămân neafectate de înmulțirea ambelor valori adevărate și aproximative cu aceeași constantă diferită de zero, deoarece această constantă ar apărea atât în numărător (la eroarea absolută), cât și în numitor (la valoarea adevărată), deci la calculului erorii relative s-ar anula, lăsând eroarea relativă neschimbată.
La erorile absolute este valabilă relația opusă: erorile absolute sunt direct sensibile la înmulțirea valorilor subiacente cu o constantă (deoarece aceasta scalează mărimea diferenței în sine), dar sunt în mare măsură insensibile la adăugarea unei constante la aceste valori (deoarece adăugarea aceleiași constante atât la valoarea reală, cât și la aproximarea acesteia nu modifică diferența dintre ele: (v+c) − (vaprox+c) = v − vaprox).
La instrumente
La majoritatea instrumentelor de măsurare, cum ar fi voltmetrele, manometrele și termometrele, precizia este frecvent specificată și garantată de producătorii acestora sub forma unui anumit procent din valoarea maximă, citită la capătul superior al scalei, în loc de procentul din valoarea reală citită. Limitele definite sau limitele permise ale acestor abateri de la valorile reale sau specificate sunt denumite de obivcei erori limită. Această metodă de specificare a preciziei implică faptul că eroarea absolută maximă posibilă poate fi mai mare atunci când se măsoară valori spre capătul superior al scalei instrumentului, în timp ce eroarea relativă față de valoarea la capătul superior de scală rămâne constantă pe întregul interval. În consecință, eroarea relativă față de valoarea reală măsurată poate deveni destul de mare pentru citirile spre capătul inferior al scalei instrumentului.
