Trocoide

Uma abordagem mais geral definiria um trocóide como o locus de um ponto $(x,y)$ orbitando a uma razão constante em torno de um eixo localizado em $(x',y')$ ,

x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ r_{1}>0,

em qual eixo está sendo transladado no plano x-y a uma taxa constante em uma linha reta,

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{array}}

ou um caminho circular (outra órbita) ao redor $(x_{0},y_{0})$ (o caso hipotrocoide/epitrocoide),

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0}+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{array}}

A proporção das taxas de movimento e se o eixo móvel se traduz em um caminho reto ou circular determina a forma do trocóide. No caso de um caminho reto, uma rotação completa coincide com um período de um local periódico (repetitivo). No caso de um caminho circular para o eixo móvel, o locus é periódico apenas se a proporção desses movimentos angulares, $\omega _{1}/\omega _{2}$ ,é um número racional, digamos $p/q$ , onde $p$ & $q$ são coprimos, caso em que, um período consiste em orbita $p$ em torno do eixo móvel e órbitas $q$ do eixo móvel em torno do ponto $(x_{0},y_{0})$ . Os casos especiais do epicicloide e do hipocicloide, gerados pelo traçado do locus de um ponto no perímetro de um círculo de raio $r_{1}$ enquanto é enrolado no perímetro de um círculo estacionário de raio $R$ , têm as seguintes propriedades:

{\begin{array}{lcl}{\text{epitrocoide: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}=R/r_{1}+1,\ |p-q|{\text{ cúspides}}\\{\text{hipotrocoide: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=-r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |p-q|=|p|+|q|{\text{ cúspides}}\end{array}}

onde $r_{2}$ é o raio da órbita do eixo móvel. O número de cúspides fornecido acima também é verdadeiro para qualquer epitrocoide e hipotrocoide, com "cúspides" substituídas por "máximos radiais" ou "mínimos radiais".==Referências==

Descrição geral

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