abstração unificadora em estruturas matemáticas

Teoria das categorias

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Na matemática, a teoria das categorias provê uma linguagem interdisciplinar capaz de delinear resultados e construções gerais, separando-os dos específicos a cada área, possibilitando a simplificação e clarificação de demonstrações. A teoria centra-se nos conceitos de categoria, que é uma abstração do conceito de composição de funções, de functor, transformações entre categorias, e de transformação natural, a qual provê um significado preciso para expressões como "natural" e "canônico".

O conceito de categorias, functores e transformações naturais, em maior generalidade, foi introduzido por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane, em 1945, em seu artigo "General Theory of Natural Equivalences". Nos anos seguintes, a teoria das categorias foi empregada na topologia algébrica e álgebra homológica, por Norman Steenrod, Alexander Grothendieck e outros. Em 1958, Daniel Kan descobre o conceito de functores adjuntos, que, segundo Mac Lane, são "onipresentes na matemática". Desde então, houve diversos desenvolvimentos.

Sendo de alto nível de abstração, é recomendada, antes do estudo de teoria das categorias, familiaridade de conceitos básicos de álgebra linear, álgebra abstrata e topologia, por exemplo.

Categoria

Uma categoria C consiste nos seguintes elementos:

Uma coleção de objetos de C.
Para cada dupla a, b de objetos, uma coleção de setas (ou morfismos) do domínio (ou origem) a até o contradomínio (ou destino) b, para as quais são usadas a notações f: a → b e f ∈ hom_C(a, b).
Para cada objeto a, uma seta de a até a, chamada identidade 1_a: a → a.
Para cada tripla de objetos a, b, c, uma operação de composição, levando
cada seta f: a → b e cada seta g: b → c a uma seta g ∘ f: a → c.
Devem ser satisfeitas as igualdades:
(Lei da identidade) Para todos objetos a, b e todas as setas f: a → b, vale 1_b ∘ f = f = f ∘ 1_a.

(Associatividade) Para todos objetos a, b, c, d e todas as setas f: a → b, g: b → c e h: c → d, vale (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f).

Há, por exemplo, categorias:

cujos objetos são conjuntos, e cujos morfismos são funções entre conjuntos;
cujos objetos são grupos, e cujos morfismos são homomorfismos de grupos;
cujos objetos são espaços topológicos, e cujos morfismos são funções contínuas;
cujos objetos são os elementos de um conjunto pré-ordenado fixo (P, ≤), e tal que, para quaisquer objetos x, y ∈ P, o número de morfismos x → y é exatamente um se x ≤ y, e zero se ¬ (x ≤ y).
cujos objetos são vértices de um grafo, e cujos morfismos são caminhos nesse grafo.

Nestes dois últimos exemplos, percebe-se que os objetos podem não ter "elementos", e os morfismos podem não ter relação com funções.

Para a representação de relações entre os morfismos, usam-se diagramas consistindo de alguns dos objetos e setas de uma categoria; uma sequência de setas, cada uma tendo destino coincidindo com a origem da seguinte, representa a composição de morfismos correspondentes. Um desses diagramas é chamado diagrama comutativo quando quaisquer duas sequências de setas que iniciam num mesmo objeto, e que terminam também num mesmo objeto, têm composições iguais.

Dualizar consiste em inverter o sentido de cada uma das setas em um diagrama; cada categoria tem uma categoria oposta. Desse modo, os teoremas e definições em teoria das categorias se organizam em duplas, um enunciado sendo obtido do outro trocando cada categoria pela oposta; por exemplo, um epimorfismo é um monomorfismo na categoria oposta, um coproduto é um produto na categoria oposta etc.

Tipos de morfismos

Como os objetos de uma categoria podem não ter "elementos", generalizações de conceitos como função injetiva e função sobrejetiva devem envolver somente setas, e pode haver mais de uma generalização possível.

Como uma categoria consiste de setas, nossa disciplina também poderia ser descrita como aprender como viver sem elementos, usando setas em vez deles.

— Saunders Mac Lane

Como exemplo, generalizando o conceito de função injetiva, um morfismo f: a → b é chamado monomorfismo se e só se

para todo objeto c e morfismos g, h: c → a satisfazendo f ∘ g = f ∘ h, vale g = h.

Na categoria dos conjuntos, na categoria dos grupos e na categoria dos espaços topológicos, os monomorfismos são exatamente as funções injetivas. Já um morfismo f: a → b é chamado seção se e só se existe g: b → a tal que g ∘ f = 1_a. Toda seção é um monomorfismo, mas a recíproca pode falhar; com efeito, na categoria dos grupos abelianos, as seções são exatamente os homomorfismos de grupos abelianos f: A → B que são injetivos e tais que B é a soma direta da imagem de f com algum subgrupo de B.

Dualizando, um morfismo f: b → a é um epimorfismo se e só se

para todo objeto c e morfismos g, h: a → c satisfazendo g ∘ f = h ∘ f, vale g = h.

Na categoria dos conjuntos, os epimorfismos são precisamente as funções sobrejetivas. Na categoria dos anéis, no entanto, a inclusão ℤ → ℚ é um epimorfismo não sobrejetivo.

Como outro exemplo, um isomorfismo é um morfismo f: a → b tal que há g: b → a satisfazendo g ∘ f = 1_a e f ∘ g = 1_b. Na categoria dos espaços topológicos, os isomorfismos são precisamente os homeomorfismos.

Propriedade universal

Construções como produto cartesiano, soma direta, e espaço funcional podem ser generalizadas para todas as categorias. Com exemplo, dados objetos a, b numa categoria C, um objeto a × b, junto a morfismos p_a: a × b → a e p_b: a × b → b, forma um sistema de produto categorial (binário) se e só se, para qualquer outro objeto c e quaisquer morfismos f: c → a e g: c → b, existe único morfismo h: c → a × b tal que p_a ∘ h = f e p_b ∘ h = g.

Dualmente, há o conceito de coproduto (binário). Na categoria dos conjuntos, os produtos correspondem aos produtos cartesianos, e os coprodutos correspondem às uniões disjuntas. Na categoria dos grupos abelianos, os produtos e coprodutos binários coincidem, e são chamados de soma direta.

Uma propriedade universal é uma propriedade que envolve a existência de único morfismo que faz certo diagrama comutar. Maneiras de definir rigorosamente o conceito incluem functores representáveis e limites e colimites.

Functor

[…] sempre que novos objetos abstratos são construídos de uma maneira especificada a partir de outros, é recomendado tratar a construção dos mapeamentos induzidos correspondentes nesses novos objetos como parte integral de sua definição.

— Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane

Um functor é uma correspondência entre objetos de duas categorias que pode ser estendida a uma correspondência entre morfismos, de modo que sejam preservadas as identidades e as composições. Mais precisamente, dadas categorias C e D, um functor (covariante) de C até D, escrito F: C → D, consiste

de uma atribuição, a cada objeto x ∈ C, de um objeto F(x) ∈ D,
de uma atribuição, a cada morfismo f: x → y, de um morfismo F_{x, y}(f) = F(f): F(x) → F(y),

satisfazendo

F(1_x) = 1_F(x) para cada objeto x ∈ C,
F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f) para cada dupla de morfismos f: x → y e g: y → z.

Exemplos de correspondências que podem ser estendidas a functores são: a correspondência entre cada conjunto A e seu conjunto de partes P(A) (levando cada f: A → B à função f^→ = (S ⊆ A) ↦ {f(x) | x ∈ S}, de imagens de subconjuntos de A); a correspondência entre cada anel comutativo K e seu grupo de matrizes invertíveis GL_n(K) de ordem n.

Noutros casos, há um functor contravariante, atribuindo um morfismo F(f): F(y) → F(x) a cada morfismo f: x → y, e invertendo a ordem das composições. Exemplos de correspondências que podem ser estendidas a functores contravariantes são: a correspondência entre cada conjunto e seu conjunto de partes (levando cada f: A → B à função f^← = (T ⊆ B) ↦ {y | f(y) ∈ T}, de pré-imagens de subconjuntos de B); a correspondência entre cada espaço vetorial e seu espaço dual; a correspondência entre cada anel comutativo e seu espaço de ideais primos.

Transformação natural

Não é muito enganoso, pelo menos historicamente, dizer que categorias são o que deve ser definido para definir functores, e que functores são o que deve ser definido para definir transformações naturais.

— Peter Freyd

Intuitivamente, uma transformação natural é uma família de morfismos numa categoria dados simultaneamente por uma mesma definição, sem depender de escolhas "arbitrárias". Por exemplo, para cada V espaço vetorial, há mapeamento linear natural e de V ao dual de seu dual, dado por e(v) = f ↦ f(v). Mais precisamente, uma transformação natural entre functores F, G: C → D é uma família de morfismos η_X: F(X) → G(X), para cada X objeto de C, satisfazendo

para qualquer morfismo f: X → Y, η_Y ∘ F(f) = G(f) ∘ η_X.

Eis exemplos:

A projeção G → G∕[G, G] de cada grupo em sua abelianização (quociente pelo subgrupo comutador) pode ser representada como uma transformação natural.
A dualidade de Pontryagin pode ser descrita como a existência de isomorfismo natural G ≅ G^∧∧, para cada G grupo abeliano localmente compacto, onde H^∧ denota o grupo topológico dos homomorfismos contínuos de H a 𝕋, grupo multiplicativo dos complexos de valor absoluto um.

Functores e transformações naturais permitem definir o conceito de equivalência de categorias.

Adjunção

Uma adjunção entre functores F: C → D e G: D → C é uma família natural de isomorfismos, para quaisquer objetos c de C e d de D, $\hom _{D}(F(c),d)\cong \hom _{C}(c,G(d)).$ Neste caso, diz-se que F é adjunto esquerdo e G é adjunto direito. Exemplos de adjunções incluem:

Sendo C = Set a categoria de conjuntos e D = K-Vet a categoria de espaços vetoriais sobre um corpo fixo K, a adjunção $\hom _{K-\mathbf {Vet} }(K[S],V)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(V))$ onde K[S] é um espaço vetorial de base indexada pelo conjunto S, e G(V) é o conjunto de elementos do espaço vetorial V.
Sendo C = Set a categoria de conjuntos e D = Grp a categoria de grupos, a adjunção $\hom _{\mathbf {Grp} }(F(S),H)\cong \hom _{\mathbf {Set} }(S,G(H))$ onde F(S) é o grupo livre no conjunto S, e G(H) é o conjunto de elementos do grupo H.
Sendo D = CompMet a categoria dos espaços métricos completos (cujos morfismos são os mapeamentos uniformemente contínuos) e C = Met a categoria dos espaços métricos, a adjunção $\hom _{\mathbf {CompMet} }(K(M),N)\cong \hom _{\mathbf {Met} }(M,G(N))$ onde K(M) é a completação do espaço métrico M, e G(N) = N.
Sendo C = D = Ab a categoria dos grupos abelianos, e sendo H grupo abeliano fixo, a adjunção $\hom _{\mathbf {Ab} }(A\otimes H,B)\cong \hom _{\mathbf {Ab} }(A,\operatorname {Hom} (H,B))$ onde ⊗ denota o produto tensorial entre grupos abelianos, e Hom(H, B) denota o grupo abeliano de homomorfismos de grupo H → B.
Sendo C = Top a categoria dos espaços topológicos e D = CHaus a categoria dos espaços compactos de Hausdorff, a adjunção $\hom _{\mathbf {CHaus} }(F(X),K)\cong \hom _{\mathbf {Top} }(X,G(K))$ onde F(X) é a compactificação de Stone–Čech de X, e G(K) = K.

Se um functor F: C → D é adjunto esquerdo a G: D → C, a composição G ∘ F: C → C faz parte de uma mônade em C.

Aplicações

Abaixo, seguem algumas aplicações elementares da teoria das categorias.

Functores são usados para expressar conceitos de topologia algébrica; com efeito, foi nessa área que o conceito começou a ser reconhecido.
Os teoremas do functor adjunto podem ser usados para demonstrar a existência (e propriedades) de grupos livres, monoides livres, anéis livres etc. (mas não "corpos livres", que não existem), da compactificação de Stone–Čech e de "maiores quocientes de Hausdorff".
Como adjuntos esquerdos são functores cocontínuos, F(A ⨿ B) ≅ F(A) ∗ F(B), onde F(_) denota o grupo livre, ⨿ denota a união disjunta, e ∗ denota o produto livre (coproduto de grupos).
Se M é um (R, S)-bimódulo, o functor M ⊗_S _ é adjunto esquerdo, logo cocontínuo, e em particular é functor exato direito (não "exato esquerdo"); isto tem aplicações à álgebra homológica.
O grupo ℤ_p dos inteiros p-ádicos pode ser descrito como o limite do functor representado diagramaticamente por $\cdots \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p^{2}\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p$ e o grupo ℤ[⁠1/p⁠]∕ℤ de Prüfer pode ser descrito como o colimite do functor representado diagramaticamente por $\mathbb {Z} /p\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{2}\xrightarrow {[n]\mapsto [p\cdot n]} \mathbb {Z} /p^{3}\rightarrow \cdots$
Mônades são usadas na linguagem de programação Haskell para modelar, por exemplo, a manipulação de estado global e o não determinismo.
Tom Leinster emprega teoria das categorias para construir um objeto inicial numa categoria envolvendo espaços de Banach, dando, assim, uma caracterização alternativa do espaço L¹([0 … 1]) das funções Lebesgue-integráveis no intervalo [0 … 1].