Paralelogramo

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Um paralelogramo é um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos e lados opostos congruentes.

Definição

Um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo cujos lados opostos são paralelos. Um paralelogramo também é qualquer retângulo que passou pelo processo de Transformação de cisalhamento em geometria plana.

Elementos

Um paralelogramo $ABCD$ tem:

quatro lados - os segmentos de reta ${\overline {AB}}$ , ${\overline {BC}}$ , ${\overline {CD}}$ e ${\overline {DA}}$ ;
quatro vértices - os pontos $A$ , $B$ , $C$ e $D$ ;
quatro ângulos internos - os ângulos $B{\hat {A}}D$ , $A{\hat {B}}C$ , $B{\hat {C}}D$ , $C{\hat {D}}A$ ;
quatro ângulos externos - os respectivos ângulos suplementares dos ângulos internos;
duas diagonais - os segmentos de reta ${\overline {AC}}$ e ${\overline {BD}}$ .

Propriedades

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Um paralelogramo possui:

lados opostos congruentes;
ângulos opostos congruentes;
suas diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios;
ângulos colaterais suplementares;
a soma dos ângulos internos igual a $360^{\circ }$ ;
a soma dos ângulos externos igual a $360^{\circ }$ ;

Observamos que todo quadrilátero convexo plano que possui uma das propriedades 1., 2. ou 3. é um paralelogramo. Existe, portanto, uma reciprocidade em relação a cada uma destas propriedades com a definição de paralelogramo dada acima.

Além disso, notamos que qualquer diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

Demonstrações das propriedades

1. Lados opostos congruentes

Dado o paralelogramo $ABCD$ , mostraremos que ${\overline {AB}}\equiv {\overline {DC}}$ e ${\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}$ . Para tanto, traçamos a diagonal ${\overline {AC}}$ . Como ${\overline {AB}}/\!/{\overline {DC}}$ e ${\overline {AD}}/\!/{\overline {BC}}$ , tomando ${\overleftrightarrow {AC}}$ como transversal temos que $D{\hat {A}}C\equiv B{\hat {C}}A$ (alternos internos) e $D{\hat {C}}A\equiv B{\hat {A}}C$ (alternos internos). Assim, pelo caso de congruência de triângulos ângulo, lado, ângulo (ALA) temos:

\triangle ADC\equiv \triangle CBA\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}D{\hat {A}}C\equiv B{\hat {C}}A\\{\overline {AC}}\equiv {\overline {CA}}\\D{\hat {C}}A\equiv B{\hat {A}}C\end{matrix}}\right.\Rightarrow {\overline {AB}}\equiv {\overline {DC}}{\text{ e }}{\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero $ABCD$ convexo plano, cujos lados opostos sejam congruentes é um paralelogramo. Com efeito, pela congruência de triângulos lado-lado-lado (LLL), temos que ${\overline {AB}}\equiv {\overline {DC}}$ e ${\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}$ , implica $\triangle ADC\equiv \triangle ABC$ . Logo, são congruentes os ângulos $B{\hat {A}}C$ e $A{\hat {C}}D$ , o que implica ${\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}$ . Um raciocínio análogo mostra que ${\overline {AD}}\parallel {\overline {BC}}$ . Ou seja, lados opostos congruentes implica lados opostos paralelos. Isso conclui esta demonstração.

2. Ângulos opostos congruentes

Dado o paralelogramo $ABCD$ , mostraremos que $B{\hat {A}}D\equiv B{\hat {C}}D$ e $A{\hat {B}}C\equiv A{\hat {D}}C$ . A partir da demostração anterior temos que:

$(1)\quad D{\hat {A}}C\equiv B{\hat {C}}A$

$(2)\quad D{\hat {C}}A\equiv B{\hat {A}}C$ .

Como $B{\hat {A}}D=B{\hat {A}}C+D{\hat {A}}C$ então substituindo (2) em (3) temos:

$(3)\quad B{\hat {A}}D=D{\hat {C}}A+D{\hat {A}}C$ .

E, temos ainda $B{\hat {C}}D=B{\hat {C}}A+D{\hat {C}}A$ , que usando (1) fornece:

$(4)\quad B{\hat {C}}D=D{\hat {A}}C+D{\hat {C}}A$ .

De (3) e (4), concluímos que $B{\hat {A}}D\equiv B{\hat {C}}D$ . Para o caso $A{\hat {B}}C\equiv A{\hat {D}}C$ o raciocínio é análogo.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero $ABCD$ convexo plano, cujos ângulos opostos são congruentes é um paralelogramo. Com efeito, temos $B{\hat {A}}D\equiv B{\hat {C}}D$ e $A{\hat {D}}C\equiv A{\hat {B}}C$ , logo $B{\hat {A}}D+A{\hat {D}}C=A{\hat {B}}C+B{\hat {C}}D$ . Como $B{\hat {A}}D+A{\hat {D}}C+A{\hat {B}}C+B{\hat {C}}D=360^{\circ }$ , segue que $B{\hat {A}}D+A{\hat {D}}C=180^{\circ }$ . Portanto, ${\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}$ . Um raciocínio análogo prova que ${\overline {AD}}\parallel {\overline {BC}}$ . Isso completa a prova.

3. Diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios

Seja $ABCD$ um paralelogramo e consideremos suas diagonais ${\overline {AC}}$ e ${\overline {BD}}$ . Denotamos por $E$ a interseção destas diagonais. Como ${\overleftrightarrow {AB}}$ e ${\overleftrightarrow {CD}}$ são paralelas, temos que os ângulos $C{\hat {D}}E$ e $A{\hat {B}}E$ são congruentes (ângulos alternos internos). Pelo mesmo motivo, são congruentes os ângulos $B{\hat {A}}E$ e $D{\hat {C}}E$ . Como ${\overline {AB}}$ e ${\overline {CD}}$ são congruentes, pela congruência ângulo-lado-ângulo (ALA) de triângulos, temos que:

$\triangle CDE\equiv \triangle ABE\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}C{\hat {D}}E\equiv A{\hat {B}}E\\{\overline {CD}}\equiv {\overline {AB}}\\D{\hat {C}}E\equiv B{\hat {A}}E\end{matrix}}\right.\Rightarrow {\overline {AE}}\equiv {\overline {CE}}{\text{ e }}{\overline {DE}}\equiv {\overline {EB}}.$

Assim temos que $E$ é ponto médio de ${\overline {AC}}$ e ${\overline {BD}}$ , logo $E$ é ponto médio e intersecção das diagonais.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero $ABCD$ plano convexo, cujas diagonais interceptam-se nos seus pontos médios é um paralelogramo. Com efeito, seja $E$ o ponto de interseção das diagonais ${\overline {AC}}$ e ${\overline {BD}}$ . Como ${\overline {AE}}\equiv {\overline {CE}}$ , ${\overline {BE}}\equiv {\overline {DE}}$ e $A{\hat {E}}B\equiv C{\hat {E}}D$ , temos da congruência de triângulos lado-ângulo-lado (LAL) que $\triangle ABE\equiv \triangle CDE$ . Donde seque que ${\overline {AB}}\equiv {\overline {CD}}$ . Analogamente, vemos que ${\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}$ . Agora, da recíproca da propriedade 1. (lados opostos congruentes), temos que os lados opostos são paralelos, como queríamos demonstrar.

4. Ângulos consecutivos suplementares

Seja $ABCD$ um paralelogramo. Mostraremos que os ângulos consecutivos $C{\hat {D}}A$ e $B{\hat {A}}D$ são suplementares. Com efeito, como ${\overleftrightarrow {AB}}$ e ${\overleftrightarrow {CD}}$ são paralelas e ${\overleftrightarrow {AD}}$ é uma transversal, temos que $C{\hat {D}}A\equiv B{\hat {A}}E$ (1) (ângulos correspondentes). Vemos, imediatamente, que $B{\hat {A}}E$ e $B{\hat {A}}D$ são suplementares, ou seja:

$B{\hat {A}}E+B{\hat {A}}D=180^{\circ }$ (2)

e substituindo (1) em (2) temos:

$C{\hat {D}}A+B{\hat {A}}D=180^{\circ }$

como queríamos demonstrar. As demonstrações para os demais ângulos consecutivos são análogas.

5. Soma dos ângulos internos

Segue imediatamente da propriedade 4. que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é $360^{\circ }$ .

6. Soma dos ângulos externos

Uma vez que em um paralelogramo os lados opostos são paralelos e os ângulos internos consecutivos são suplementares, temos que os ângulos externos consecutivos também são suplementares. Como são quatro, temos que a soma dos ângulos externos é $360^{\circ }$ .

Perímetro

Denotando por $a$ e $b$ os comprimentos de dois de seus lados não-paralelos, seu perímetro pode ser calculado através da fórmula abaixo:

P=2(a+b)

Área

Paralelogramo , sendo o ponto de interseção de suas diagonais e .

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A área de um paralelogramo é dada por:

A=b\cdot h

onde, $b$ é o comprimento de qualquer um de seus lados e $h$ é a altura relativa a este lado, i.e. o comprimento do segmento de reta perpendicular que liga este lado ao seu oposto.

Equivalentemente, temos:

A=a\cdot b\cdot \operatorname {sen} \alpha

onde, $a$ e $b$ são os comprimentos de dois lados adjacentes e $\alpha$ é o ângulo definido por estes lados.

Ou, ainda, a área pode ser calculado por:

A={\frac {d_{1}\cdot d_{2}\cdot \operatorname {sen} \alpha }{2}}

onde, $d_{1}$ e $d_{2}$ são os comprimentos das diagonais do paralelogramo e $\alpha$ é um dos ângulos definido pela interseção das diagonais. Com efeito, seja $ABCD$ um paralelogramo (veja figura ao lado). Suas diagonais se interceptam em um ponto $E$ determinando quatro triângulos $AEB$ , $BEC$ , $CED$ , $DEA$ . Do fato de que lados opostos de um paralelogramo serem congruentes e de que $E$ é ponto médio de ambas diagonais, temos que os triângulos $AEB$ e $CED$ são congruentes, assim como os triângulos $BEC$ e $DEA$ . Notamos que a área do paralelogramo é a soma das áreas dos quatro triângulos. Ou seja, denotando por $d_{1}$ e $d_{2}$ os comprimentos das diagonais $AC$ e $DE$ , respectivamente, temos: