Hiperboloide

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Hiperboloide de uma folha

Hiperboloide de duas folhas

Na geometria, um hiperboloide de revolução, às vezes chamado de hiperboloide circular, é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma hipérbole em torno de um de seus principais eixos. Um hiperboloide é uma superfície que pode ser obtida a partir de um hiperboloide de revolução, deformando-o por meio de escalonamentos direcionais, ou mais geralmente, de uma transformação afim.

Um hiperboloide é uma superfície quádrica, que é uma superfície que pode ser definida como o conjunto zero de um polinômio de grau dois em três variáveis. Entre as superfícies quádricas, um hiperboloide é caracterizado por não ser um cone ou um cilindro, ter um centro de simetria e interceptar muitos planos em hipérboles. Um hiperboloide também possui três eixos perpendiculares de simetria emparelhados e três planos perpendiculares de simetria emparelhados.

Dado um hiperboloide, se alguém escolhe um sistema de coordenadas cartesianas cujos eixos são eixos de simetria do hiperboloide, e origem é o centro de simetria do hiperboloide, então o hiperboloide pode ser definido por uma das duas equações seguintes:

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1,

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1.

Ambas as superfícies são assintóticas ao cone de equação

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0.

Só se obtém um hiperboloide de revolução se e somente se $a^{2}=b^{2}.$ Caso contrário, os eixos são exclusivamente definidos (até a troca do eixo x e do eixo y.)

Existem dois tipos de hiperboloides. No primeiro caso ( $+1$ no lado direito da equação), tem-se um hiperboloide de uma folha, também chamado hiperboloide hiperbólico. É uma superfície conectada, que tem uma Curvatura Gaussiana negativa em cada ponto. Isto implica que o plano tangente em qualquer ponto intercepta o hiperboloide em duas retas e, assim, que o hiperboloide de uma folha é uma superfície duplamente regrada.

No segundo caso ( $-1$ no lado direito da equação), tem-se um hiperboloide de duas folhas, também chamado hiperboloide elíptico. A superfície tem dois componentes conectados e uma curvatura gaussiana positiva em cada ponto. Assim, a superfície é convexa no sentido de que o plano tangente em todos os pontos intercepta a superfície somente nesse ponto.

Representações paramétricas

hiperboloide de uma folha: geração por uma hipérbole (topo) e retas (fundo: vermelho ou azul)

hiperboloide de uma folha: seções planas

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As coordenadas cartesianas para os hiperboloides podem ser definidas, similares às coordenadas esféricas, mantendo o ângulo azimutal $\theta \in [0,2\pi)$ , mas mudando a inclinação $v$ para funções trigonométricas hiperbólicas:

Hiperboloide de uma superfície: $v\in (-\infty,\infty)$

{\begin{aligned}x&=a\cosh v\cos \theta \\y&=b\cosh v\operatorname {sen} \theta \\z&=c\ {\mbox{senh}}\ v\end{aligned}}

Hiperboloide de duas superfícies: $v\in [0,\infty)$

{\begin{aligned}x&=a\ {\mbox{senh}}\ v\cos \theta \\y&=b\ {\mbox{senh}}\ v\operatorname {sen} \theta \\z&=\pm c\cosh v\end{aligned}}

Propriedades de um hiperboloide de uma folha

hiperboloide de duas folhas: geração pela rotação de uma hipérbole

hiperboloide de duas folhas: seções planas

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Retas na superfície

Um hiperboloide de uma folha contém dois feixes de retas. É uma superfície duplamente regrada.

Se o hiperboloide tem a equação ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$ então as retas

g_{\alpha }^{\pm }:{\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}a\cos \alpha \\b\operatorname {sen} \alpha \\0\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-a\operatorname {sen} \alpha \\b\cos \alpha \\\pm c\end{pmatrix}}\,\quad t\in \mathbb {R},\ 0\leq \alpha \leq 2\pi \

estão contidas na superfície.

No caso de $a=b$ o hiperboloide é uma superfície de revolução e pode ser gerado pela rotação de uma das duas retas $g_{0}^{+}$ ou $g_{0}^{-}$ , que são inclinados para o eixo de rotação (ver imagem). A geração mais comum de um hiperboloide de revolução é a rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo semi-secundário (ver imagem).

Observação: Um hiperboloide de duas folhas é projetivamente equivalente a um paraboloide hiperbólico.

Seções planas

Por simplicidade, as seções planas da unidade hiperboloide com equação $\ H_{1}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ são considerados. Como um hiperboloide em posição geral é uma imagem afim da unidade hiperboloide, o resultado também se aplica ao caso geral.

Um plano com uma inclinação menor que 1 (1 é a inclinação das linhas no hiperboloide) intercepta $H_{1}$ numa elipse,
Um plano com inclinação igual a 1 contendo a origem intercepta $H_{1}$ em um par de linhas paralelas,
Um plano com uma inclinação igual a 1 que não contém a origem intercepta $H_{1}$ em uma parábola,
Um plano tangencial intercepta $H_{1}$ em um par de linhas de concorrentes,
Um plano não tangencial com uma inclinação maior que 1 intersecta $H_{1}$ em uma hipérbole.

Obviamente, qualquer hiperboloide de revolução de uma folha contém círculos. Isso também é verdade, mas menos óbvio, no caso geral.

Propriedades de um hiperboloide de duas folhas

O hiperboloide de duas folhas não contém retas. A discussão de seções planas pode ser realizada para a unidade hiperboloide de duas folhas com equação

H_{2}:\ x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1

que pode ser gerado por uma hipérbole rotativa em torno de um de seus eixos (aquele que corta a hipérbole)

Um plano com declive menor que 1 (1 é o declive das assíntotas da hipérbole geradora) intercepta $H_{2}$ ou em uma elipse ou em um ponto ou não intercepta,
Um plano com inclinação igual a 1 contendo a origem (ponto médio do hiperboloide) não cruza $H_{2}$ ,
Um plano com inclinação igual a 1 que não contém a origem intercepta $H_{2}$ em uma parábola,
Um plano com inclinação maior que 1 intercepta $H_{2}$ em uma hipérbole.

Obviamente, qualquer hiperboloide de revolução de duas folhas contém círculos. Isso também é verdade, mas menos óbvio, no caso geral.

Observação: Um hiperboloide de duas folhas é projetivamente equivalente a uma esfera.

Representação paramétrica comum

A seguinte representação paramétrica inclui hiperboloides de uma folha, duas folhas e seu cone de limite comum, cada um com o eixo $z$ como o eixo de simetria:

${\vec {x}}(s,t)=\left({\begin{array}{lll}a{\sqrt {s^{2}+d}}\cos t\\b{\sqrt {s^{2}+d}}\operatorname {sen} t\\cs\end{array}}\right)$

Para $d>0$ obtém-se um hiperboloide de uma folha,
Para $d<0$ um hiperboloide de duas folhas e
Para $d=0$ um cone duplo.

Pode-se obter uma representação paramétrica de um hiperboloide com um eixo de coordenadas diferente como o eixo de simetria, arrastando a posição do termo $cs$ para o componente apropriado na equação acima.

Simetrias de um hiperboloide

Os hiperboloides com equações ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,\quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\$ são

ponto simétrico à origem,
simétrica para os planos de coordenadas e
simétrica rotacional ao eixo z e simétrica a qualquer plano que contenha o eixo z, em caso de $a=b$ (hiperboloide de revolução).

Na curvatura de um hiperboloide

A curvatura gaussiana de um hiperboloide de uma folha é negativa, a de um hiperboloide de duas folhas é positiva. Apesar de sua curvatura positiva, o hiperboloide de duas folhas com outra métrica adequadamente escolhida também pode ser usado como modelo para geometria hiperbólica.

Equações generalizadas

Mais geralmente, um hiperbolóide arbitrariamente orientado, centrado em $\mathbf {v}$ , é definido pela equação

(\mathbf {x-v})^{\mathrm {T} }A(\mathbf {x-v})=1,

onde $A$ é uma matriz e $\mathbf {x}$ , $\mathbf {v}$ são vetores.

Os autovetores de $A$ definem as direções principais do hiperboloide e os autovalores de $A$ são os recíprocos dos quadrados dos semi-eixos: ${1/a^{2}}$ , ${1/b^{2}}$ e ${1/c^{2}}$ . O hiperboloide de uma folha tem dois autovalores positivos e um autovalor negativo. O hiperboloide de duas folhas tem um autovalor positivo e dois autovalores negativos.

Em mais de três dimensões

Hiperboloides imaginários são frequentemente encontrados em matemática de dimensões superiores. Por exemplo, em um espaço pseudo-euclidiano, tem-se o uso de uma forma quadrática:

q(x)=\left(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\right)-\left(x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right),\quad k<n.

Quando $c$ é qualquer constante, então a parte do espaço dada por

\lbrace x\:\ q(x)=c\rbrace

é chamado de hiperboloide. O caso degenerado corresponde a $c=0$ .

Como exemplo, considere a seguinte passagem:

... os vetores de velocidade sempre se encontram em uma superfície que Minkowski chama de hiperboloide quadridimensional, expressa em termos de coordenadas puramente reais (y₁,..., y₄), sua equação é y²
₁ + y²
₂ + y²
₃ − y²
₄ = −1, análogo ao hiperboloide y²
₁ + y²
₂ − y²
₃ = −1 de espaço tridimensional.

No entanto, o termo quasi-esfera também é usado neste contexto, uma vez que a esfera e o hiperboloide têm alguma semelhança.

Estruturas hiperboloides

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Hiperboloides de uma folha são usados na construção, com estruturas chamadas estruturas hiperboloides. Um hiperboloide é uma superfície duplamente regrada; Assim, ele pode ser construído com vigas retas de aço, produzindo uma estrutura forte a um custo menor do que outros métodos. Exemplos incluem torres de resfriamento, especialmente de usinas elétricas, e muitas outras estruturas.

Relação com a esfera

Em 1853, William Rowan Hamilton publicou suas Lectures on Quaternions, que incluíam a apresentação de biquaternions. A passagem a seguir da página 673 mostra como Hamilton usa álgebra de biquaternion e vetores de quaternions para produzir hiperboloides a partir da equação de uma esfera:

... a equação da esfera unitária ρ² + 1 = 0, e mude o vetor ρ para uma forma de bivetor, como σ + τ √−1. A equação da esfera então se divide no sistema das duas seguintes,

σ² − τ² + 1 = 0, S.στ = 0;

e sugere nossa consideração σ e τ como dois vetores reais e retangulares, de modo que

Tτ = (Tσ² − 1)^1/2.

Por isso, é fácil inferir que, se assumirmos σ

\parallel

λ, onde λ é um vetor em uma determinada posição, o novo vetor real σ + τ terminará na superfície de um hiperboloide de duas folhas e equilátero; e que, se, por outro lado, assumirmos τ

\parallel

λ, então o locus da extremidade do vetor real σ + τ será um hiperboloide equilátero, mas de uma folha. O estudo desses dois hiperboloides é, portanto, assim conectado de maneira muito simples, através de biquaternions, com o estudo da esfera.;...

Nesta passagem S é o operador que dá a parte escalar de um quaternion, e T é o "tensor", agora chamado de norma, de um quaternion.

Uma visão moderna da unificação da esfera e do hiperboloide usa a ideia de uma seção cônica como uma fatia de uma forma quadrática. Em vez de uma superfície cônica, uma exige hiper-superfícies cônicas no espaço de quatro dimensões com pontos p = (w, x, y, z) ∈ R⁴ determinado por formas quadráticas. Primeiro, considere a hiper-superfície cônica

P=\lbrace p\:\ w^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\rbrace

H_{r}=\lbrace p\:\ w=r\rbrace,

que é um hiperplano.

Então $P\cap H_{r}$ é a esfera com raio r. Por outro lado, a hiper-superfície cônica

Q=\lbrace p\:\ w^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}\rbrace

prevê que

Q\cap H_{r}

é um hiperboloide.

Na teoria das formas quadráticas, uma unidade quasi-esfera é o subconjunto de um espaço quadrático X consistindo em x ∈ X tal que a norma quadrática de x é um.