Lineaire algebra

Veel van de basisinstrumenten van de lineaire algebra, in het bijzonder die met betrekking tot de oplossing van stelsels lineaire vergelijkingen, werden al in de klassieke oudheid gebruikt. Maar de studie van vectoren en vectorruimten begint pas in de jaren 1600. De ontwikkeling van het gebruik van determinanten speelde daarbij een belangrijke rol.

Een mijlpaal was La géometrie van René Descartes (oorspronkelijk een bijlage bij zijn Verhandeling over de methode uit 1637) waarin hij een nauw verband legde tussen meetkundige en algebraïsche vraagstukken. Het eerste onderdeel heet "Hoe de berekeningen van de rekenkunde in verband staan met de bewerkingen van de meetkunde." Hij was niet de eerste wiskundige die een dergelijk verband legde, maar hij was grondiger dan zijn voorgangers in het gebruik van symbolische algebraïsche uitdrukkingen en in de meetkundige interpretatie van de algebra.

Het gebruik van determinanten om een stelsel van eerstegraadsvergelijkingen op te lossen heet thans de Regel van Cramer omdat Gabriel Cramer die in 1750 publiceerde, maar hij was al verschenen in de postume publicatie Treatise on Algebra (1748) van Colin Maclaurin.

Het onderwerp begon zijn moderne vorm aan te nemen in het midden van de 19e eeuw, toen veel ideeën en methoden uit vorige eeuwen werden veralgemeend in de abstracte algebra.

De coëfficiënten van een stelsel lineaire vergelijkingen kunnen worden genoteerd als een rechthoekig schema met de naam matrix. In 1858 begon Arthur Cayley met het bestuderen van matrices als zelfstandige objecten. Hij introduceerde de vermenigvuldiging van matrices en bestudeerde polynomen waarin de veranderlijken matrices voorstelden.

Tensoren werden aan het begin van de 20e eeuw geïntroduceerd. Het gebruik van deze objecten in de speciale relativiteitstheorie, statistiek en kwantummechanica zorgde ervoor dat de ideeën van de lineaire algebra zich buiten de zuivere wiskunde hebben verspreid.

De belangrijkste structuren van de lineaire algebra zijn vectorruimten en de lineaire afbeeldingen tussen deze vectorruimten. Een vectorruimte is een verzameling, waarvan de elementen bij elkaar op kunnen worden geteld en met scalairen of getallen kunnen worden vermenigvuldigd. In veel natuurlijke toepassingen zijn deze scalairen reële getallen. Meer in het algemeen kunnen de scalairen een lichaam (Ned) / veld (Be) vormen, men kan dus vectorruimten over het veld van rationale getallen, het veld van complexe getallen of een eindig veld beschouwen. Deze twee operaties moeten zich op dezelfde manier gedragen als optelling en vermenigvuldiging van getallen: optelling is commutatief en associatief, de vermenigvuldiging is distributief over optelling, en zo verder. Om precies te zijn moeten de twee operaties voldoen aan een lijst van axioma's, die is gekozen om eigenschappen van optelling en scalaire vermenigvuldiging van vectoren te emuleren in de van coördinaten voorziene -ruimte . Een van de axioma's schrijft het bestaan van de nulvector voor. De nulvector gedraagt zich met betrekking tot optelling analoog aan het getal nul. Elementen van een algemene vectorruimte kunnen objecten van verschillende aard zijn, bijvoorbeeld functies of polynomen. Gezien als elementen van worden zij vaak als vectoren aangeduid.

Gegeven twee vectorruimten en over een lichaam , is een lineaire transformatie een afbeelding

die compatibel is met optelling en scalaire vermenigvuldiging:

voor willekeurige vectoren en een scalair .

Een fundamentele rol in de lineaire algebra wordt gespeeld door de noties van lineaire combinatie, lineair omhulsel en lineaire onafhankelijkheid van vectoren en de basis en dimensie van een vectorruimte. Gegeven een vectorruimte over een lichaam , een uitdrukking van de vorm

,

waar vectoren en scalairen zijn, wordt de lineaire combinatie van de vectoren met coëfficiënten genoemd. De verzameling van alle lineaire combinaties van vectoren wordt hun omhulsel genoemd. Een lineaire combinatie van een systeem van vectoren met allemaal nul-coëfficiënten is de nulvector van . Als dit de enige manier is om de nulvector als een lineaire combinatie van uit te drukken dan zijn deze vectoren lineair onafhankelijk. Een lineaire onafhankelijke verzameling van vectoren, die een vectorruimte omhult, is een basis van . Als een vectorruimte een eindige basis toelaat dan hebben twee willekeurige basissen hetzelfde aantal elementen, die de dimensie van wordt genoemd, en is een eindig-dimensionale vectorruimte. Deze theorie kan tot oneindig-dimensionale ruimten worden uitgebreid.

Er bestaat een belangrijk verschil tussen een van coördinaten voorziene -ruimte en een algemene eindig-dimensionale vectorruimte . Terwijl een standaardbasis heeft, is een vectorruimte typisch niet uitgerust met een basis. Er bestaan veel verschillende basissen, alhoewel zij allemaal hetzelfde aantal elementen hebben gelijk aan de dimensie van . Het hebben van een specifieke basis van maakt de constructie van een coördinatensysteem in mogelijk: de vector met coördinaten is de lineaire combinatie

.

De voorwaarde dat de vectorruimte omspant, garandeert dat aan iedere vector coördinaten kunnen worden toegewezen, terwijl de lineaire onafhankelijkheid van verder verzekert dat deze coördinaten op een unieke manier worden bepaald, dat wil zeggen dat er maar een lineaire combinatie van de basisvectoren is, die gelijk is aan . Wanneer op deze manier eenmaal een basis van een vectorruimte over is gekozen, kan worden geïdentificeerd met de van coördinaten voorziene -ruimte . Onder deze identificatie corresponderen optelling en scalaire vermenigvuldiging van vectoren in met optelling en scalaire vermenigvuldiging van hun coördinatenvectoren in . Als bovendien en een -dimensionale en -dimensionale vectorruimte over zijn en er voor zowel als een basis is vastgesteld, dan kan elke lineaire transformatie worden weergegeven als een m×n-matrix met elementen in het veld . Deze matrix noemt men de matrix van met betrekking tot deze basissen. In grote lijnen hierom kan men de studie van axiomatisch gedefinieerde, lineaire transformaties vervangen door de studie van concrete matrices. Dit is een belangrijke techniek in de lineaire algebra.

• Elke vectorruimte heeft een basis.
• Twee verschillende bases van dezelfde vectorruimte hebben dezelfde kardinaliteit, anders gezegd is de dimensie van een vectorruimte eenduidig bepaald.
• Een vierkante matrix kan dan en slechts dan worden geïnverteerd als de determinant ervan geen nul is.
• Als een vierkante matrix een linker- of rechter inverse matrix heeft dan is deze matrix inverteerbaar.
• Een matrix is dan en slechts dan positief definiet als alle eigenwaarden ervan groter dan nul zijn.
• Een -matrix is dan en slechts dan diagonaliseerbaar als deze matrix lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft.
• Volgens de spectraalstelling is een matrix dan en slechts dan orthogonaal diagonaliseerbaar als deze matrix symmetrisch is.

Wikibooks heeft meer over dit onderwerp: Cursus lineaire algebra.