Binomiale verdeling

3 min read
In 54 languages

All data from the card 3

Parameters: aantal pogingen (geheel) kans op succes (reëel)
Verdelingsfunctie: met de onvolledige bètafunctie.
Mediaan: een uit

In de kansrekening en de statistiek is de binomiale verdeling een discrete kansverdeling die de verdeling is van het aantal successen $X$ in een reeks van $n$ onafhankelijke alternatieven alle met succeskans $p$ . Zo'n experiment wordt ook wel een bernoulli-experiment genoemd.

In het geval $n=1$ , komt de binomiale verdeling overeen met de bernoulli-verdeling.

Definitie

In een reeks van $n$ bernoulli-experimenten kunnen $0,1,\ldots,n$ successen voorkomen. Het aantal successen is een stochastische variabele $X$ . Als $p$ de kans op succes is, zegt men dat $X$ binomiaal verdeeld is met parameters $n$ en succeskans $p$ , en noteert:

X\sim B(n,p)

of ook

X\sim \mathrm {Bin} (n,p)

De kans op precies $k$ successen kan gemakkelijk berekend worden door te bedenken dat elke reeks uitkomsten met $k$ successen en $n-k$ mislukkingen dezelfde kans $p^{k}(1-p)^{n-k}$ heeft. Omdat er ${\tbinom {n}{k}}$ (zie binomiaalcoëfficiënt) verschillende reeksen zijn met precies $k$ successen, wordt de kansfunctie voor $k=0,1,\ldots,n$ gegeven door:

f(k;n,p)=P(X=k)={\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}

Voorbeeld

We gooien 4 keer met een (eerlijke) dobbelsteen. We kunnen 0, 1, 2, 3 of 4 keer een 6 gooien. Het aantal keren dat we 6 gooien, $X$ , is $B(4,1/6)$ -verdeeld. Hoe groot is de kans dat we van de 4 worpen 1 keer een 6 gooien? Hier is $n=4,\ p=1/6$ en $k=1$ , dus:

P(X=1)=f(1;4,{\tfrac {1}{6}})={\tbinom {4}{1}}({\tfrac {1}{6}})^{1}(1-{\tfrac {1}{6}})^{3}=4\times {\tfrac {1}{6}}\times {\tfrac {125}{216}}=0{,}386

Momenten

De verwachtingswaarde en de variantie van een $B(n,p)$ -verdeelde stochastische variabele $X$ laten zich het eenvoudigst bepalen door $X$ te schrijven als de som van $n$ onafhankelijke, $B(1,p)$ -verdeelde variabelen: $X=X_{1}+\ldots +X_{n}$ . Dan volgt:

EX=E(X_{1}+\ldots +X_{n})=nE(X_{1})=np

\operatorname {var} (X)=\operatorname {var} (X_{1}+\ldots +X_{n})=n\,\operatorname {var} (X_{1})=np(1-p)

De bovenstaande relaties kunnen ook afgeleid worden met behulp van berekeningen soortgelijk aan de volgende:

EX(X-1)(X-2)=\sum _{k=0}^{n}k(k-1)(k-2){\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}

=n(n-1)(n-2)p^{3}\sum _{k=3}^{n}{\frac {(n-3)!}{(k-3)!(n-k)!}}p^{k-3}(1-p)^{n-k}=n(n-1)(n-2)p^{3}

Uit deze betrekking kan het derde moment $EX^{3}$ bepaald worden, en daarmee de scheefheid van de verdeling.

Ook volgt daaruit direct:

EX=\sum _{k=0}^{n}k{\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}=np

EX(X-1)=\sum _{k=0}^{n}k(k-1){\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}=n(n-1)p^{2}

Uit deze laatste relatie volgt weer:

EX^{2}=n(n-1)p^{2}+np

zodat

\operatorname {var} (X)=EX^{2}-(EX)^{2}=n(n-1)p^{2}+np-n^{2}p^{2}=np(1-p)

Benadering

Het is nogal bewerkelijk of bijna ondoenlijk om voor grote waarden van het aantal experimenten $n$ de exacte kansen te berekenen. Dit is ook niet nodig omdat de binomiale verdeling voor grote $n$ benaderd kan worden door een normale verdeling of door een Poissonverdeling.

Als vuistregel neemt men wel dat de $B(n,p)$ -verdeling voor $n>25$ goed benaderd kan worden door een geschikte normale verdeling, mits de succeskans $p$ niet te klein of te groot is. Als vuistregel geldt: $np>5$ en $n(1-p)>5$ . Voor kleinere en grotere waarden van $p$ is de binomiale verdeling te scheef om door de symmetrische normale verdeling goed benaderd te worden. Een benadering door een geschikte Poissonverdeling is dan mogelijk.

Normale benadering

De stochastische variabele $X$ is $B(n,p)$ -verdeeld. Voor toenemende $n$ nadert de verdeling van $X$ naar een normale verdeling, dus met verwachtingswaarde $EX=np$ en variantie $\mathrm {var} (X)=np(1-p)$ . Er geldt dus:

P(X\leq k)\approx P(Y\leq k)=P\left(Z\leq {\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)

Daarin is $Y\ N(np,np(1-p))$ -verdeeld en $Z$ standaardnormaal verdeeld.

Omdat de binomiale verdeling een discrete verdeling is, geldt

P(X\leq k)=P(X<k+1)\approx P(Y\leq k+1)

hetgeen leidt tot twee (en meer) mogelijke benaderingen, die voor niet al te grote waarden van $n$ nogal verschillen. Om dit probleem te ondervangen past men wel de zogenaamde continuïteitscorrectie toe, en neemt als betere benadering een waarde tussen de genoemde uitersten, en wel:

P(X\leq k)=P(X<k+1)\approx P(Y\leq k+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})=P\left(Z\leq {\frac {k+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)

Voorbeeld

Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere munt ten hoogste 10 keer kruis te gooien? Noem $X$ het aantal keren kruis; $X$ is dus $B(25,{\tfrac {1}{2}})$ -verdeeld is. De gevraagde kans is:

P(X\leq 10)=0{,}2122

Omdat $EX=np=12{,}5$ en $\mathrm {var} (X)=np(1-p)=6{,}25$ , kan deze kans benaderd worden met behulp van een $N(12{,}5;6{,}25)$ -verdeling.

P(X\leq 10)\approx P(Y\leq 10)=P\left(Z\leq {\frac {10-12{,}5}{\sqrt {6{,}25}}}\right)=P(Z<-1)=0{,}1587

Men kan ook berekenen:

P(X<11)\approx P(Y<11)=P\left(Z\leq {\frac {11-12{,}5}{\sqrt {6{,}25}}}\right)=P(Z<-0{,}6)=0{,}2743

Dat zijn twee benaderingen die nogal uiteenlopen, maar waar de werkelijke waarde wel tussen ligt. Met de continuïteitscorrectie wordt de benadering:

P(X\leq 10)\approx P(Y\leq 10{,}5)=P\left(Z\leq {\frac {10{,}5-12{,}5}{\sqrt {6{,}25}}}\right)=P(Z<-0{,}8)=0{,}2119

Poissonbenadering

Omdat de $B(n,p)$ -verdeling voor toenemende $n$ en constante waarde van $np=\mu$ nadert naar de Poissonverdeling met parameter $\mu$ , kan de $B(n,p)$ -verdeling voor grote waarden van $n$ en waarden van $p$ in de buurt van 0 benaderd worden door een geschikte Poissonverdeling. In dat geval geldt dus: $X\sim B(n,p)$ :

P(X\leq k)\approx P(Y\leq k)

Daarin is $Y$ Poissonverdeeld met parameter $np$ .

Ook voor waarden van $p$ in de buurt van 1 kan deze benadering gebruikt worden, zij het dat men niet de verdeling van $X$ benadert, maar de verdeling van $n-X$ , die $B(n,1-p)$ -verdeeld is, dus met een kleine waarde van $Bp$ .

Voorbeeld

Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere dobbelsteen ten hoogste 2 keer 6 te gooien? Noem $X$ het aantal keren 6. Dus $X$ is $B(25,1/6)$ -verdeeld. De gevraagde kans is:

P(X\leq 2)=0{,}1887

Omdat $EX=np=25/6$ kan we deze kans benaderd worden met behulp van een Poissonverdeling met parameter 25/6.

P(X\leq 2)\approx P(Y\leq 2)=0{,}2147

Hoe groot is de kans om in 25 worpen met een zuivere dobbelsteen minstens 20 keer geen 6 te gooien? Noem $X$ het aantal keren dat geen 6 gegooid wordt. $X$ is dus $B(25,5/6)$ -verdeeld. De gevraagde kans is: