정의역의 값과 그에 대한 함수 값을 좌표로 하는 점들로 이루어진 그림

함수의 그래프

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수학에서, 함수의 그래프(영어: graph)는 정의역의 값과 그에 대한 함수 값을 좌표로 하는 점들로 이루어진 그림이다.

정의

함수 $f\colon X\to Y$ 의 그래프는 정의역과 공역의 곱집합의 다음과 같은 부분 집합이다.

\operatorname {graph} f=\{(x,f(x))\colon x\in X\}\subseteq X\times Y

$m$ 차원 실수 벡터의 유클리드 공간의 부분 집합 $S\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ 과 $n$ 차원 실수 벡터의 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 사이의 함수 $f\colon S\to \mathbb {R} ^{n}$ 의 그래프는 $m+n$ 차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{m+n}$ 의 부분 집합이다. 특히, 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 의 그래프는 평면 위에서 나타낼 수 있으며, 함수 $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 의 그래프는 3차원 공간 위에서 나타낼 수 있다.

성질

만약 $X$ 와 $Y$ 가 위상 공간이며 $f\colon X\to Y$ 가 연속 함수라면, $x\mapsto (x,f(x))$ 는 $X\to X\times Y$ 매장이며, $\operatorname {graph} f$ 는 $X$ 와 위상 동형이다. 만약 $X$ 와 $Y$ 가 매끄러운 다양체이며 $f\colon X\to Y$ 가 매끄러운 함수라면, $x\mapsto (x,f(x))$ 는 $X\to X\times Y$ 매끄러운 매장이며, $\operatorname {graph} f$ 는 $X$ 와 미분 동형이다.

닫힌집합일 조건

위상 공간 $Y$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$Y$ 는 하우스도르프 공간이다.
임의의 위상 공간 $X$ 및 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $\operatorname {graph} f\subseteq X\times Y$ 는 닫힌집합이다.

만약 $Y$ 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면, 위상 공간 $X$ 및 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$f$ 는 연속 함수이다.
$\operatorname {graph} f\subseteq X\times Y$ 는 닫힌집합이다.

예

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참고 문헌

Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba (2003). 《Vector Calculus(Fifth Edition)》. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4992-0.

외부 링크

“Graph of a mapping” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Function graph” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Examples for Plotting & Graphics” (영어). 《Wolfram Alpha》.
- 다양한 함수의 그래프의 예시

함수의 그래프

정의

성질

닫힌집합일 조건

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