Gruppo profinito

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In matematica, un gruppo profinito è un gruppo topologico che si può costruire con un certo processo di limite a partire da gruppi finiti. Molti teoremi validi per i gruppi finiti, quali i teoremi di Sylow, ammettono generalizzazioni naturali ai gruppi profiniti.

Formalmente, un gruppo profinito si può definire come un gruppo topologico T2, compatto con un sistema di intorni di $1$ fatto di sottogruppi normali.

Proprietà

Si può dimostrare che un gruppo profinito è limite proiettivo della famiglia dei suoi sottogruppi normali. È anche vero, viceversa, che il limite proiettivo di una famiglia di gruppi finiti dotati della topologia discreta è un gruppo profinito. Da quest'ultimo fatto deriva peraltro il nome profinito.

I gruppi profiniti estendono, in un certo senso, delle proprietà dei gruppi finiti. Tra le più importanti, la proprietà di essere gruppo di Galois di un'estensione di campi. Infatti, come i gruppi finiti sono i gruppi di Galois finiti, i gruppi profiniti sono i gruppi di Galois infiniti con la topologia di Krull.

Alcuni esempi

Un classico esempio di gruppo profinito è ${\hat {\mathbb {Z} }}$ , il limite proiettivo della famiglia $\lbrace \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rbrace _{n\in \mathbb {N} }$ dotata delle mappe $\rho _{n,m}\colon \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ tali che, se $n|m$ , $\rho _{n,m}(a)=[a]_{n}$ dove le quadre indicano la classe di resto di $a$ modulo $n$ . Si mostra che ${\hat {\mathbb {Z} }}$ è il gruppo di Galois assoluto di $\mathbb {F} _{p}$ campo finito con $p$ elementi.