Integral Lebesgue

Konstruksi

Ruang ukuran

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran $(X,\Sigma,\mu)$ .

Integral dari fungsi sederhana

Fungsi karakteristik $\chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\}$ untuk himpunan $A\subseteq X$ adalah

\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {jika} \;x\in A\\0&\mathrm {jika} \;x\not \in A\end{cases}}.

Suatu fungsi $\phi:X\rightarrow \mathbb {R}$ tersebut fungsi sederhana, jika

\phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}

untuk $\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n}\in \mathbb {R}$ , $A_{1},\ldots,A_{n}\in \Sigma$ dan $n\in \mathbb {N}$ .

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana $\phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$ sebagai

\int _{X}\phi \,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\,\alpha _{i}\mu (A_{i}).

Integral dari fungsi tak negatif

Misalnya $f:(X,\Sigma)\rightarrow (\mathbb {R},{\mathcal {B}}(\mathbb {R}))$ suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana ${\mathcal {B}}(\mathbb {R})$ aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

\int _{X}f\,d\mu =\sup \left\{\int _{X}\phi \,d\mu:\phi {\text{ sederhana, }}0\leq \phi \leq f\right\}.

Perhatikan bahwa $\int _{X}f\,d\mu \in [0,\infty]$ .

Integral dari fungsi terukur sembarang

Misalnya $f:(X,\Sigma)\rightarrow (\mathbb {R},{\mathcal {B}}(\mathbb {R}))$ suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif $f^{+}$ dan $f^{-}$ adalah didefinisikan tik demi tik sebagai $f^{+}=\max\{f,0\}$ dan $f^{-}=\max\{-f,0\}$ . Perhatikan bahwa $f=f^{+}-f^{-}$ dan $|f|=f^{+}+f^{-}$ .