Ellipszoid koordináta-rendszer

1 min read
In 9 languages

Az ellipszoid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, a $(\lambda,\mu,\nu)$ koordinátákkal. A kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszer általánosítása, Szemben a legtöbb használatban levő koordináta-rendszerrel, az ellipszoid koordináta-rendszer konfokális másodfokú felületeken alapul.

Alapképletek

A $(\lambda,\mu,\nu)$ ellipszoid koordinátákról a következő képletekkel lehet áttérni az $(x,y,z)$ Descartes-koordinátákra:

x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}

y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}

z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}

ahol az egyes koordinátákra a következő egyenlőtlenségek teljesülnek:

-\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.

Ebből következően a konstans $\lambda$ -hoz tartozó felületek ellipszoidok:

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,

míg a konstans $\mu$ -jű felületek egyköpenyű hiperboloidok

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,

és a konstans $\nu$ -jű felületek kétköpenyű hiperboloidok

{\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1

Mindezek a felületek konfokális másodfokú felületek.

Skálázási tényezők és differenciáloperátorok

A képletek egyszerűsítésére bevezetjük a következő jelölést:

S(\sigma)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)

ahol $\sigma$ a $(\lambda,\mu,\nu)$ koordináták bármelyikét reprezentálhatja. Ezzel a skálázási tényezők:

h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda)}}}

h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu)}}}

h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu)}}}

Eszerint az infinitezimális térfogatelem:

dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda)S(\mu)S(\nu)}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu

és a Laplace-operátor:

{\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {4{\sqrt {S(\lambda)}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda)}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\mu)}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu)}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\nu)}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu)}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\end{aligned}}

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők a $(\lambda,\mu,\nu)$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Szögparaméterezés

Egy alternatív paraméterezés a gömbkoordináták szögparaméterezését követi:

x=as\sin \theta \cos \phi,

y=bs\sin \theta \sin \phi,

z=cs\cos \theta.

Ahol $s>0$ paraméterezi az origó körüli koncentrikus ellipszoidokat, és $\theta \in [0,\pi]$ illetve $\phi \in [0,2\pi]$ rendre a polárszög és az azimut. A megfelelő térfogatelem:

dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi.

Források

Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 663. o.
Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 114. o. ISBN 0-86720-293-9.
Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 101–102. o. LCCN 67025285.
Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 176. o. LCCN 59014456.
Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 178–180. o. LCCN 55010911.
Moon PH, Spencer DE (1988). "Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd, 3rd print ed.). New York: Springer Verlag. 40–44 (Table 1.10). o. ISBN 0-387-02732-7.
Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) (2nd ed.). New York: Pergamon Press. 19–29. o. ISBN 978-0-7506-2634-7. Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ellipsoidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.