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Produit direct

La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, on peut appeler produit direct un produit qui commute avec le foncteur d'oubli[réf. souhaitée]. C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques.

Produit direct de deux magmas

Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne {\displaystyle *_{E}} et F un ensemble muni d'une loi de composition interne {\displaystyle *_{F}}. On peut définir une loi de composition interne {\displaystyle *} sur le produit cartésien E×F de la façon suivante:

{\displaystyle (x,y)*(x',y')=(x*_{E}x',y*_{F}y').}

Propriétés

  • Si {\displaystyle *_{E}} et {\displaystyle *_{F}} sont associatives, alors la loi {\displaystyle *} est associative.
  • Si {\displaystyle *_{E}} et {\displaystyle *_{F}} sont commutatives, alors la loi {\displaystyle *} est commutative.
  • Si {\displaystyle *_{E}} admet un élément neutre e et si {\displaystyle *_{F}} admet un élément neutre f, alors {\displaystyle (e,f)} est neutre pour {\displaystyle *}.
    • Si de plus x admet un symétrique x' pour {\displaystyle *_{E}} et si y admet un symétrique y' pour {\displaystyle *_{F}}, alors (x, y) admet (x', y') comme symétrique.

Produit direct de magmas

Soit (Ei)i∈I une famille d'ensembles, chaque Ei étant muni d'une loi de composition interne {\displaystyle \star _{i}}. On peut définir une loi de composition interne {\displaystyle *} sur le produit cartésien ∏i∈I Ei de la façon suivante:

{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}*(x'_{i})_{i\in I}=(x_{i}\star _{i}x'_{i})_{i\in I}}

Cette construction est valable que I soit un ensemble fini ou infini.

Propriétés

  • Si chaque loi {\displaystyle \star _{i}} est associative, la loi {\displaystyle *} est associative.
  • Si chaque loi {\displaystyle \star _{i}} est commutative, la loi {\displaystyle *} est commutative.
  • Si chaque loi {\displaystyle \star _{i}} possède un élément neutre ei (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche), la famille (ei)i∈I est neutre (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche) pour {\displaystyle *}.
  • Si chaque loi {\displaystyle \star _{i}} possède un élément neutre et si dans chaque Ei, un élément quelconque xi possède un symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche) yi, alors la famille (xi)i∈I admet la famille (yi)i∈I comme symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche).

En particulier, le produit direct d'une famille de groupes est un groupe.

Produit direct d'anneaux

Soit (Ei)i∈I une famille d'ensembles, chaque Ei étant muni de deux lois {\displaystyle +_{i}} et {\displaystyle *_{i}}. On peut comme précédemment définir une loi {\displaystyle +}, produit direct des {\displaystyle +_{i}} et une loi {\displaystyle *}, produit direct des lois {\displaystyle *_{i}}.

Si chaque loi {\displaystyle *_{i}} est distributive par rapport à la loi {\displaystyle +_{i}}, alors la loi {\displaystyle *} est distributive par rapport à la loi {\displaystyle +}.

En particulier, si chaque Ei est muni d'une structure d'anneau, on construit ainsi un anneau produit direct.

Produit direct d'espaces vectoriels

Soit une famille (Ei)i∈I d'espaces vectoriels sur un même corps K. Les lois suivantes font du produit cartésien ∏i∈I Ei un K-espace vectoriel, appelé produit de la famille (Ei)i∈I:

{\displaystyle (u_{i})_{i\in I}+(v_{i})_{i\in I}=(u_{i}+v_{i})_{i\in I},\quad \lambda (u_{i})_{i\in I}=(\lambda u_{i})_{i\in I}.}

Le vecteur nul est la famille (0)i∈I formée par les vecteurs nuls des espaces Ei.

Lorsque tous les Ei sont égaux à un même K-espace vectoriel E (par exemple à K, vu comme K-droite vectorielle), ∏i∈I Ei est l'espace vectoriel EI des applications de I dans E.

À lire ensuite

Espace vectorielensemble défini sur un corps muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires Algèbre sur un corps Algèbre universellebranche des mathématiques Monoïdemagma dont la loi de composition interne est associative et comporte un élément neutre Structure algébriquestructure mathématique munie d'une ou plusieurs opérations finitaires définies sur celle-ci en théorie des catégories Module sur un anneauensemble défini sur un anneau muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires

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