kappale, jonka poikkileikkaus missä tahansa tasossa on ellipsi

Ellipsoidi

1 min read
In 55 languages
2 images

Ellipsoidilla tarkoitetaan kappaletta, jonka poikkileikkaus missä tahansa tasossa on ellipsi.

Jos ellipsoidin keskipiste on pisteessä (0,0,0) eli origossa ja akselit ovat koordinaattiakselin suuntaiset, on ellipsoidin yhtälö xyz-koordinaatistossa

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\!

, jossa

a,b,c\in \mathbb {R}

Luvut $a$ , $b$ ja $c$ ovat ellipsoidin puoliakselien pituudet.

Ellipsoidin erikoistapaus pyörähdysellipsoidi syntyy, kun ellipsi pyörähtää jonkin akselinsa ympäri. Jos ellipsi pyörähtää esimerkiksi x-akselin ympäri, kappaleen poikkileikkaus tasossa yz on ympyrä, jonka säde $r=b=c$ .

Pinta-ala

Ellipsoidin pinta-ala saadaan kaavalla

A=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(O\!\!E,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(O\!\!E,m)\right),\,\!

jossa $m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}\,\!$ ja $F(O\!\!E,m)\,\!$ , $E(O\!\!E,m)\,\!$ ovat ensimmäisen ja toisen asteen epätäydellisiä elliptisiä integraaleja.

Likimääräinen arvo saadaan kaavalla:

A\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}.\,\!

missä arvolla $p=1,6075$ saadaan suhteellinen virhe, joka on korkeintaan 1,061 % (Knud Thomsenin kaava); arvo p = 8/5 = 1,6 on optimaalinen lähes pallomaisille ellipsoideille, suhteellinen virhe on tällöin korkeintaan 1,178 % (David W. Cantrellin kaava).

Ellipsoidi

Pinta-ala

Read next

In 55 languages