Trigonometria

7 min read
In 148 languages
14 images

θ angeluaren funtzio trigonometriko guztiak geometrikoki 0an zentratutako zirkuluarekin eraiki daitezke

Trigonometria (grezieraz τριγωνο, <trigōno> triangelu + μετρον <metron> neurtu) triangeluez arduratzen den matematika ataletako bat da, eta, etimologikoki, «triangeluen neurketa» esan nahi du.

Oro har, trigonometria arrazoi trigonometrikoen azterketa da: sinua, kosinua, tangentea, kotangentea, sekantea eta kosekantea. Trigonometria geometriako edo geometria analitikoko beste adar batzuei aplikatzen zaie, bereziki geometria lauari edo espazioaren geometriari. [[Ekuazio diferentzial arrunt|Ekuazio diferentzial arrunten** ebazpenetan (y = y´´), ekuazio diferentzial deribatu partzialetan erabiltzen diren Fourier-en serieak.

Aplikazio ugari ditu, besteak beste: triangulazio-teknikak, esaterako, astronomian erabiltzen dira hurbileko izarrekiko distantziak neurtzeko; puntu geografikoen arteko distantziak neurtzeko, eta satelite bidezko nabigazio-sistema globaletan.

Sarrera

Trigonometria triangeluaren elementu batzuek ezagututa, aldea, angelua, altura, etab., ezezagunak diren beste batzuek kalkulatzeko bideak ematen dituen matematika-adarra da.

Adibidez, bi alde eta angelu baten balioak ezagutu daitezkeenean, beste aldearen eta bi angeluen balioak jakitera iritsi daiteke. Zehatzago esanda, trigonometriak triangeluak ebazteko oinarriak ematen ditu, triangelu lauak izan ala triangelu esferikoak izan. Trigonometriaren ezagutza hau jakintzaren zuzia zibilizazioz zibilizazio pasatzen joan ziren jakintsu askori esker metatu ahal izan da; horietako batzuek ondoren aipatzen dira.

Pitagoras, bere teorema ezagunarekin: «Triangelu zuzenean, hipotenusaren karratua katetoen karratuen baturaren bera da». Aristarko Samoskoak, Kristo baino hiru mende lehenago, Ilargiaren eta Eguzkiaren tamaina kalkulatzea erabaki zuen, baita Lurretik zein distantzietara zeuden jakitea ere. Horretarako, honetan oinarritu zen: Ilargia zehatz-mehatz erdi-argituta dagoen unean, Lurra, Ilargia eta Eguzkia, irudiak azaltzen duen moduan triangelu angeluzuzenaren erpinetan daude.

Gaur egun ontzat ematen ditugun emaitzak lortu ez bazituen, huts hori ezin zaio metodoari bota (metodoa, berez, zuzena baitzen), angeluak neurtzeko erabili zituen tresnei baizik, ez baitzuten horretarako behar zen doitasunik.

Historia

2 images

Sakontzeko, irakurri: «Trigonometriaren historia»

Trigonometriaren historia 3.000 urtetik gora zabal liteke. Babiloniarrek triangelu angeluzuzenen angeluen neurketak eta aldeen luzeren hurbilketak zehaztu zituzten, buztin lehorraren gainean grabatu zituzten zenbait taulak aditzera ematen dutenez. Adibidez, kuneiformean idatzitako taula babiloniar batean, Plimpton 322 izenekoan (K.a. 1900 inguruan), hamabost hiruko pitagoriko eta zenbaki-zutabe bat ageri dira, funtzio trigonometrikoen taula gisa interpreta daitekeena. Dena den, zenbait eztabaida daude horren inguruan.

Astronomo babiloniarrek, izarren irteera eta ilunabarra, planeten mugimenduari eta eguzki eta ilargi eklipseei buruzko erregistroak eraman zituzten, eta horrek guztiak zeruko esferaren gainean neurtutako distantzia angeluarrarekiko ezagupena eskatzen du.

Egiptoarrek, Kristoren aurreko bigarren milurtekoan, trigonometriaren jatorrizko forma bat erabiltzen zuten piramideak eraikitzeko. Ahmesen papiroa, Ahmes egiptoar eskribak idatzia (K.a. 1680-1620), honako arazo hau dauka trigonometriarekin lotuta:

Piramide bat 250 ukondo altu bada eta oinarriaren aldea 360 ukondo luze bada, zein da haren sekeda?

Arazoaren irtenbidea piramidearen oinarriaren erdiaren eta altueraren arteko erlazioa da. Beste era batera esanda, seked-erako aurkitzen den neurria piramidearen oinarria eta bere aurpegia osatzen duten angeluaren kotangentea da.

Unitate angeluarrak

Angeluen neurketan eta, beraz, trigonometrian, hiru unitate erabiltzen dira, eguneroko bizitzan gehien erabiltzen dena gradu hirurogeitar edo sexagesimala bada ere; matematikan radiana da erabiliena, eta angeluak neurtzeko unitate naturaltzat definitzen da, gradu ehundar edo zentesimala sistema hamartarretik gertuen zegoen unitate gisa garatu zen, eta topografian, arkitekturan edo eraikuntzan erabiltzen da.

Radiana: Unitate angeluar naturala trigonometrian. Zirkunferentzia oso batean 2π radian daude (6,28 pasatxo).
Gradu hirurogeitarra: Zirkunferentzia 360 gradutan zatitzen duen unitate angeluarra.
Gradu ehundarra: Zirkunferentzia 400 gradu zentesimaletan zatitzen duen unitate angeluarra.
Mila angeluar: Zirkunferentzia 6400 unitatetan banatzen duen unitate angeluarra.


Angelu-garraiagailua radianetan	Angelu-garraiagailua gradu hirurogeitarretan

Angelu-garraiagailua gradu ehundarretan	Angelu-garraiagailua mila angeluarretan

Trigonometria laua

Trigonometria lauaren helburua planoko triangeluak ebaztea da.

Triangelu horiek zuzenak edota bestelakoak izan daitezke. Triangelu zuzenetan, lau arazo-mota aurki daitezke: •

Hipotenusa eta kateto bat ezagunak izatea.
Kateto bat eta angelu bat ezagunak izatea.
Hipotenusa eta angelu bat ezagunak izatea.
Bi katetoak ezagunak izatea.

Zuzenak ez diren triangeluen kasuan ere, lau arazo-mota agertzen dira:

Alde bat eta bi angelu ezagunak izatea.
Bi alde eta haien arteko angelua ezagunak izatea.
Bi alde eta horietako baten pareko angelua ezagunak izatea.
Triangeluaren hiru aldeak ezagunak izatea.

Aipatutako arazo horiek ebazteko, ezinbestekoak dira ondoren azalduko diren oinarrizko ezagutza eta erlazio batzuk.

Oinarrizko ezagutzak

Angelua sorburu berbera duten bi zuzenerdiren artean kokatutako zuzenerdi-multzo gisa har daiteke. Angelua mugatzen duten bi zuzenerdiei, alde deritze, eta, jatorriari, berriz, erpin. Ondoren datorrenarentzat, komeni da mota honetako angeluak bereiztea:

Angelu zuzena, bere aldeak bi zuzenerdi elkartuta direnean.
Angelu zorrotza, angelu zuzena baino txikiagoa denean.
Angelu kamutsa, angelu zuzena baino handiagoa denean.
Angelu laua, bere aldeak erpinez aurkakoak diren bi zuzenerdi direnean. Bi angelu zuzenen balioa du.
Angelu osagarriak, hurrenez hurreneko bi angelu dira, eta, bien artean, angelu zuzena osatzen dute.
Angelu betegarriak, hurrenez hurreneko bi angelu dira, eta, bien artean, bi angelu zuzen osatzen dituzte.

Angeluak neurtzeko unitateak

Angeluak neurtzeko, unitate bi daude: batetik radianak (rad), eta, bestetik, graduak minutuak eta segundoak( º / ' / '')

Angelu orientatuak

Angelua orientatzea zera da: bera mugatzen duten bi zuzenerdiak ordenatzea. Bati, jatorrizko zuzenerdia deritzo, eta, besteari, muturreko zuzenerdia.

Funtzio trigonometrikoak

6 images

Sakontzeko, irakurri: «Funtzio trigonometriko»

Trigonometria matematikaren adar garrantzitsu bat da, triangelu angeluzuzen baten eta zirkunferentzia baten aldeen eta angeluen arteko erlazioa aztertzen duena. Helburu horrekin, zenbait funtzio definitu ziren, zeinak beren jatorrizko xedea gainditu eta beren baitan ikasitako matematika-elementu bihurtu diren eta askotariko eremuetan aplikazioak dituzten.

Arrazoi trigonometrikoak

ABC triangelu angeluzuzena da. A erpinean dagoen $\alpha \,$ angeluari dagozkion sinu, kosinu eta tangentea arrazoi trigonometrikoak azaltzeko balio du.

Sinua (laburtuta sin) aurkako katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.

\operatorname {sin} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}={\frac {a}{c}}

Kosinua (laburtuta cos) ondoko katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.

\cos \alpha ={\frac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}={\frac {b}{c}}

Tangentea (laburtuta tan edo tg) aurkako katetoaren eta ondoko katetoaren arteko arrazoia da.

\operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AC}}}={\frac {a}{b}}

Adierazpen grafikoa

Alderantzizko arrazoi trigonometrikoak

Oinarrizko arrazoi trigonometrikoen alderantzizkoak ere defini daitezke:

Kosekantea (laburtuta csc) sinuaren alderantzizko arrazoia da, hipotenusaren eta aurkako katetoaren artekoa.

$\operatorname {csc} \,\alpha ={\frac {1}{\operatorname {sin} \alpha }}={\frac {\overline {AB}}{\overline {CB}}}={\frac {c}{a}}$

Sekantea (laburtuta sec) kosinuaren alderantzizko arrazoia da, hipotenusaren eta ondoko katetoaren artekoa.

$\operatorname {sec} \,\alpha ={\frac {1}{\operatorname {cos} \alpha }}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {c}{b}}$

Kotangentea (laburtuta cot) tangentearen alderantzizko arrazoia da, ondoko katetoaren eta aurkako katetoaren artekoa.

$\operatorname {cot} \,\alpha ={\frac {1}{\operatorname {tg} \alpha }}={\frac {\overline {AC}}{\overline {CB}}}={\frac {b}{a}}$

Adierazpen grafikoa

Beste funtzio trigonometrikoak

Aurreko funtzioez gain, badira beste funtzio trigonometriko batzuk ere. Matematikoki defini daitezke dagoeneko ikusi ditugunak erabiliz. Ez dira oso erabiliak, baina erabiltzen dira, beren zentzu geometrikoa dela eta. Ikus dezagun:

Sinu kardinal edo sinc (x) funtzioa, honela adierazita:

\operatorname {sinc} \;(x)={\frac {\operatorname {sen} (x)}{x}}

Versinus (laburtuta versin, sinver, vers edo siv), zirkunferentzia batean korda eta arkuaren artean dagoen distantzia da, sagita edo gezi ere deitzen zaio, eta honela adierazten da:

\operatorname {versinus} \;\alpha =1-\cos \alpha

Semiversus nabigazioan erabiltzen da kalkulu esferikoan esku hartzen baitu:

\operatorname {semiversus} \;\alpha ={\frac {\operatorname {versin} \;\alpha }{2}}

Coversinus

\operatorname {coversinus} \;\alpha =1-\operatorname {sen} \;\alpha

Semicoversinus

\operatorname {semicoversinus} \;\alpha ={\frac {\operatorname {coversin} \;\alpha }{2}}

Exsekante (exsec)

\operatorname {exsec} \;\alpha =\sec \alpha -1

Elkarrekiko funtzio trigonometrikoak

Sakontzeko, irakurri: «Alderantzizko funtzio»

Trigonometrian, angelua radianetan adierazten denean (radian bat erradioaren luzera bereko zirkunferentzia-arkua denez), radianetan adierazitako edozein kantitateari arku deritzo; horregatik, elkarrekiko funtzioak arku aurrizkiarekin izendatzen dira, arrazoi trigonometriko bakoitzak bere elkarrekiko funtzioa duelarik:

$y=\operatorname {sen} \,x\,$

y da x-ren sinuaren berdina, elkarrekiko funtzioa:

x=\arcsin \;y\,

x da y balio duen arkuaren sinua, edo x ere y-ren arku-sinua DA.

y=\cos x\,

baldin bada:

y da x-ren kosinuaren berdina, elkarrekiko funtzioa:

x=\arccos y\,

x da y balio duen kosinuaren arkua, eta x y-ren arku-sinua deritze.

y=\operatorname {tg} x\,

baldin bada:

y da x-ren tangentearen berdina, elkarrekiko funtzioa:

x=\arctan y\,

x da y balio duen arkuaren tangentea, edo x da y-ren arku-tangentearen berdina.

OHARRA Ohikoa da elkarrekiko funtzioak honela idaztea:

y=\operatorname {arcsin} \;x\quad \longrightarrow \quad y=\operatorname {sen} ^{-1}x\,

baina kontuz ibili behar da HONAKO hauekin ez nahasteko:

y={\cfrac {1}{\operatorname {sen} x}}\quad \longrightarrow \quad y=\csc x

Adierazpen grafikoa

Elkarrekiko funtzioak lortzeko irizpidea zentzu hertsian aplikatzen badugu, hau da, arku-sinua sinuaren elkarrekikotzat hartuz, arku-sinua kosinuaren elkarrekikoa eta arku-tangentea tangentearen elkarrekikoa, eskuineko grafikoa lortzen da. Erraza da konturatzea irudikapen horiek ez dutela betetzen irudiaren bakartasuna, funtzioaren definizioaren parte dena, Hori x-ren balio jakin baterako da, bada, haren funtzioa den balio-kopuru infinitu bat baitago; adibidez: 0-ren arku-sinua 0 da, baina $\pi$ -ren edozein multiplo oso ere bai.

\arcsin(0)=\pi \;n

Edozein n zenbaki osorako.

Funtzio baten elkarrekikoak irudiaren bakartasuna nahitaez bete behar ez duenez, funtzio injektiboek eta bijektiboek bakarrik ematen dituzte elkarrekiko funtzioak propietate horrekin, egoera hori errepikatu egiten da gainerako funtzio elkarkari trigonometrikoetan.

Irudiaren bakartasunari dagokionez, funtzioaren definizioa betetzen dela bermatzeko, eta, beraz, elkarrekiko funtzio trigonometrikoek funtzioaren definizioaren irizpideak betetzen dutela, bai domeinua eta bai kodomeinua mugatu ohi dira, zuzenketa horrek funtzioa behar bezala aztertzeko aukera ematen du, nahiz eta jatorrizko funtzio trigonometrikoaren elkarrekikoarekin guztiz bat ez etorri. Beraz, hau dugu:

Arku-sinu funtzioa honela definitzen da:

{\begin{array}{rccl}\arcsin:&[-1,1]&\to &[-0,5\pi \;,\;0,5\pi]\\&x&\mapsto &y=\arcsin(x)\end{array}}

Arku-kosinu funtzioa honela definitzen da:

{\begin{array}{rccl}\arccos:&[-1,1]&\to &[0\;,\;\pi]\\&x&\mapsto &y=\arccos(x)\end{array}}

Arku-tangente funtzioa honela definitzen da:

{\begin{array}{rccl}\arctan:&R&\to &[-0,5\pi \;,\;0,5\pi]\\&x&\mapsto &y=\arctan(x)\end{array}}

== Funtzio trigonometrikoen arteko baliokidetasuna

	Sinua	Kosinua	Tangentea	Kotangentea	Sekantea	Kosecantea
$\operatorname {sen} \theta \,$	$\operatorname {sen} \theta \,$	${\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	${\frac {\operatorname {tg} \theta }{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	${\frac {1}{\csc \theta }}$
$\cos \theta \,$	${\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}$	$\cos \theta \,$	${\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}}$	${\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	${\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$
$\operatorname {tg} \theta \,$	${\frac {\operatorname {sen} \theta }{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\operatorname {tg} \theta \,$	${\frac {1}{\cot \theta }}$	${\sqrt {sec^{2}\theta -1}}$	${\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$
$\cot \theta \,$	${\frac {\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}{\operatorname {sen} \theta }}$	${\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\operatorname {tg} \theta }}$	$\cot \theta \,$	${\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$
$\sec \theta \,$	${\frac {1}{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\cos \theta \,}}$	${\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}$	${\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$	${\sec \theta }\,$	${\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$
$\csc \theta \,$	${\frac {1}{\operatorname {sen} \theta \,}}$	${\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}{\operatorname {tg} \theta }}$	${\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$	${\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\csc \theta }\,$

Funtzio trigonometrikoen balioak


Zirkunferentzia radianetan.	Zirkunferentzia Gradu hirurogeitarretan.

Radian	Gradu hirurogeitar	sin	cos	tan	cosec	sec	cotg
$0\;$	$0^{o}\,$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	$0\,$	$\not {\exists }\,\!$	$1\,$	$\not {\exists }\,\!$
${\frac {1}{6}}\pi$	$30^{o}\,$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$2\,$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {3}}$
${\frac {1}{4}}\pi$	$45^{o}\,$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1\,$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {2}}$	$1\,$
${\frac {1}{3}}\pi$	$60^{o}\,$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {1}}{2}}={\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	$2\,$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$
${\frac {1}{2}}\pi$	$90^{o}\,$	${\frac {\sqrt {4}}{2}}=1$	${\frac {\sqrt {0}}{2}}=0$	$\not {\exists }\,\!$	$1\,$	$\not {\exists }\,\!$	$0\,$

Funtzio trigonometrikoen balioa kalkulatzeko, taula trigonometrikoak egin ziren. Lehenengo taula Johann Müller Regiomontanok garatu zuen 1467an, zeinak, angelu bat ezagututa, haren funtzio trigonometrikoen balioak kalkulatzeko aukera ematen diguten. Gaur egun, informatikaren garapena dela eta, ia programazio-lengoaia guztietan daude kalkulu horiek egiten dituzten funtzio-liburutegiak; sakelako kalkulagailu elektronikoetan ere erabiltzen dira, eta, beraz, gaur egun, zaharkituta geratzen da taulen erabilera.

Zirkunferentzia goniometrikoa

2 images

Zirkunferentzia goniometrikoa zentroa $(0,0)$ puntuan duen eta 1 erradioa duen zirkunferentzia da. Horrela, zirkunferentziaren luzera $2\pi$ izango da. Arrazoi trigonometrikoak aztertzeko erabiltzen da, triangelu zuzenak irudikatuz bere barnean.

Erradioa 1 denez, hipotenusaren balioa $c=1$ da ere. Beraz, honako hauek dira arrazoi trigonometrikoen balioak:

$\operatorname {sin} \,\alpha ={\frac {a}{c}}=a$
$\operatorname {cos} \,\alpha ={\frac {b}{c}}=b$
$\operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {\operatorname {sin} \,\alpha }{\operatorname {cos} \,\alpha }}$

Gainera, adierazpen grafiko honi esker, erraz ondoriozta daiteke koadrante bakoitzean arrazoi trigonometrikoen balioa positiboa edo negatiboa izango den. Izan ere, kosinuaren balioa zirkunferentziak puntu bakoitzean duen abszisa izango da, eta sinua, aldiz, ordenatu ardatzarena.


Koadrantea	sin	cos	tan
I	+	+	+
II	+	-	-
III	-	-	+
IV	-	+	-

Eragiketa trigonometrikoak

Bi angelu zorrotzen baturaren sinu eta kosinuaren eta angelu horien sinu eta kosinuen arteko erlazioa erakusteko irudia.

2 images

Pitagorasen teorema

Triangelu zuzenak honako funtzioa betetzen du:

a^{2}+b^{2}=c^{2}\,

aurreko ekuaziotik hau ateratzen da:

\operatorname {sin} \alpha ={\frac {a}{c}}

\cos \alpha ={\frac {b}{c}}

c=1\,

orduan α angelurako, Pitagorasen teorema betetzen da:

\operatorname {sin} ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\,

Bi angeluen batuketa eta kenketa

\operatorname {sin} (\alpha +\beta)=\operatorname {sin} \alpha \cos \beta +\cos \alpha \operatorname {sin} \beta \,

\sin(\alpha -\beta)=\operatorname {sin} \alpha \cos \beta -\cos \alpha \operatorname {sin} \beta \,

\cos(\alpha +\beta)=\cos \alpha \cos \beta -\operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta \,

\cos(\alpha -\beta)=\cos \alpha \cos \beta +\operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta \,

\operatorname {tg} (\alpha +\beta)={\frac {\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }{1-\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}

\operatorname {tg} (\alpha -\beta)={\frac {\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} \beta }{1+\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}

Bi angeluen sinu eta kosinuen batuketa eta kenketa

\operatorname {sin} \alpha +\operatorname {sin} \beta =2\ \operatorname {sin} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)

\operatorname {sin} \alpha -\operatorname {sin} \beta =2\ \operatorname {sin} \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)

\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)

\cos \alpha -\cos \beta =-2\ \operatorname {sin} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\operatorname {sin} \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)

Bi angeluen sinu eta kosinuen biderketa

\cos(\alpha)\cos(\beta)={\frac {\cos(\alpha +\beta)+\cos(\alpha -\beta)}{2}}

\sin(\alpha)\sin(\beta)={\frac {\cos(\alpha -\beta)-\cos(\alpha +\beta)}{2}}

\sin(\alpha)\cos(\beta)={\frac {\sin(\alpha +\beta)+\sin(\alpha -\beta)}{2}}

\cos(\alpha)\sin(\beta)={\frac {\sin(\alpha +\beta)-\sin(\alpha -\beta)}{2}}

Angelu bikoitza

\operatorname {sin} 2\alpha =2\operatorname {sin} \alpha \cdot \cos \alpha \,\!

\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\operatorname {sin} ^{2}\alpha \,\!

\cos 2\alpha =1-2\operatorname {sin} ^{2}\alpha \,\!

\cos 2\alpha =-1+2\cos ^{2}\alpha \,\!

\operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}

Angeluerdia

\operatorname {sin} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\,\!

\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\,\!

\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}

Erreferentziak

Bibliografia

Cortés Espinosa de los Monteros, Nuria. Ediciones Didácticas y Pedagógicas S. L. ed. Actividades para unidad didáctica sobre trigonometría [Recurso electrónico] (2008). ISBN 978-84-936336-3-9.
Domínguez Muro, Mariano. Universidad de Salamanca. Ediciones Universidad Salamanca ed. Trigonometría activa: 2 BUP (1985). ISBN 978-84-7800-056-2.

In 148 languages

Euskara Afrikaans Alemannisch አማርኛ aragonés अंगिका العربية مصرى অসমীয়া asturianu azərbaycanca تۆرکجه башҡортса žemaitėška Bikol Central беларуская (тарашкевіца)беларуская български বাংলা brezhoneg bosanski català کوردی corsu čeština чӑвашла Cymraeg dansk Deutsch Ελληνικά emiliàn e rumagnòl English Esperanto español eesti estremeñu فارسی suomi võro føroyskt français Nordfriisk Gaeilge 贛語 kriyòl gwiyannen galego ગુજરાતી עברית हिन्दी Fiji Hindi hrvatski Kreyòl ayisyen magyar հայերեն interlingua Jaku Iban Bahasa Indonesia Ilokano Ido íslenska italiano 日本語 Patois Jawa ქართული Qaraqalpaqsha Kabɩyɛ Gĩkũyũ қазақша ភាសាខ្មែរ 한국어 kurdî кыргызча Latina Lingua Franca Nova Luganda Limburgs lombard ລາວ lietuvių latviešu Madhurâ मगही македонски മലയാളം मराठी Bahasa Melayu မြန်မာဘာသာ Plattdüütsch नेपाली नेपाल भाषा Nederlands norsk nynorsk norsk occitan Oromoo ଓଡ଼ିଆ ਪੰਜਾਬੀ polski Piemontèis پنجابی português Runa Simi ရခိုင်română русский русиньскый sicilianu Scots سنڌي srpskohrvatski / српскохрватски Taclḥit සිංහල Simple English slovenčina slovenščina chiShona Soomaaliga shqip српски / srpski Seeltersk svenska Kiswahili தமிழ்తెలుగు тоҷикӣ ไทย Türkmençe Tagalog toki pona Türkçe татарча / tatarça українська اردو oʻzbekcha / ўзбекча vèneto vepsän kel’Tiếng Việt walon Winaray 吴语 მარგალური ייִדיש Yorùbá 文言閩南語 / Bân-lâm-gí 粵語中文

Text from Wikipedia, CC BY-SA 4.0 · Source article

Trigonometria

Sarrera

Historia

Unitate angeluarrak

Trigonometria laua

Oinarrizko ezagutzak

Angeluak neurtzeko unitateak

Angelu orientatuak

Funtzio trigonometrikoak

Arrazoi trigonometrikoak

Adierazpen grafikoa

Alderantzizko arrazoi trigonometrikoak

Adierazpen grafikoa

Beste funtzio trigonometrikoak

Elkarrekiko funtzio trigonometrikoak

Adierazpen grafikoa

== Funtzio trigonometrikoen arteko baliokidetasuna

Funtzio trigonometrikoen balioak

Zirkunferentzia goniometrikoa

Eragiketa trigonometrikoak

Pitagorasen teorema

Bi angeluen batuketa eta kenketa

Bi angeluen sinu eta kosinuen batuketa eta kenketa

Bi angeluen sinu eta kosinuen biderketa

Angelu bikoitza

Angeluerdia

Erreferentziak

Bibliografia

Read next

In 148 languages