-1

• 1 zenbakiaren alderantzizkoa da, hau da, 1 batuz gero 0 ematen duen zenbakia.
• Bat zenbakiaren antzeko propietateak ditu, aldaketa txiki batzuekin; nortasun-biderkatzaile bat litzateke, baldin eta aldaketaren zeinuarekin izango ez balitz: (–1) · x =–x; x–1 = -x.
• Zenbaki irudikarietan, i² = -1 da.
• -1 zenbakia Eulerren identitatean ageri da: $e^{i\pi }=-1$
• Informatikan, hasierako balio bat da lengoaia batzuetako testu osoentzat; informazio erabilgarririk ez duen aldagai bat erakusteko ere erabiltzen da.

Zenbaki bat bider –1 eginez gero, zenbakiaren zeinua aldatzen da. Hau da, x guztientzat (−1) ⋅ x = −x da. Hori frogatzeko, propietate banatzailea eta axioma erabil daitezke, 1 baita elementu neutroa:

x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0.

Ekuazio horretan, x zenbaki guztiak bider 0 balioa duela dioen propietatea erabili da, eta hori ekuazio honetatik ondorioztatzen da:

0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x.

Bestela esanda,

x + (−1) ⋅ x = 0,

Beraz, (–1) · x da x elementuaren batuketa-emaitza, hau da, (−1) ⋅ x = −x, aurretik frogatu zen bezala.

-1 zenbakiaren karratua

–1 zenbakiaren koadroa, hau da –1 bider –1, 1 da. Beraz, bi zenbaki negatiboren biderkadura positiboa da.

Ekuazio honekin hasten da emaitza horren froga aljebraikoa:

0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)].

Lehenengo berdintasuna aurreko emaitzatik eratortzen da, eta bigarrena –1 da 1 batuketaren alderantzizkoa: hain zuzen, zenbaki horri 1 da 0 batzen zaionean. Propietate banatzailea erabiliz, hau egin behar da:

0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1).

Hirugarren berdintasuna lortzeko, 1 neutro biderkatzailea da. Baina, orain, ekuazio horren bi gaiak batuz, hau lortzen da:

(−1) ⋅ (−1) = 1.

Aurretiko erakustaldiak eraztun guztietarako balio du, zenbaki osoak eta errealak orokortzen dituen aljebra abstrakturako.

-1en erro karratua

-1en erro karraturik ez dagoen arren, i zenbaki konplexuak i² = −1 betetzen du, eta, beraz, –1ren erro karratutzat har daiteke. Zenbaki konplexuak dituen koaternioien aljebran —non oinarrizko teorema ez baita baliozkoa—, x² = −1 ekuazioak ebazpen kopuru infinitua du.