mathematischer Satz

Strahlensatz

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Der Strahlensatz (man spricht auch vom ersten und zweiten Strahlensatz) oder Vierstreckensatz gehört zu den wichtigsten Aussagen der Elementargeometrie. Er befasst sich mit den Streckenverhältnissen, die entstehen, wenn zwei von einem gemeinsamen Punkt ausgehende Strahlen von einem Parallelenpaar geschnitten werden. Seine Aussagen ermöglichen es bei vielen geometrischen Überlegungen, unbekannte Streckenlängen auszurechnen. Der Strahlensatz wird dem griechischen Mathematiker Thales zugeschrieben, weshalb er außerhalb des deutschen Sprachraums oft auch Satz des Thales heißt.

In der synthetischen Geometrie können die ersten beiden Strahlensätze mit Einschränkungen sinngemäß auf affine Translationsebenen verallgemeinert werden und gelten uneingeschränkt für desarguesche Ebenen. Dagegen gilt die Erweiterung des Strahlensatzes auf drei sich schneidende Geraden, der in der synthetischen Geometrie auch Dreistrahlsatz genannt wird, im Allgemeinen nur für pappussche Ebenen, siehe dazu Affine Translationsebene – Strahlensatz und Streckungen.

Formulierung der Strahlensätze

Wenn zwei von einem gemeinsamen Punkt $Z$ ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten werden, die nicht durch den Ausgangspunkt $Z$ gehen, dann gelten die folgenden Aussagen:

Es verhalten sich je zwei Abschnitte auf dem einen Strahl so zueinander wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl, also zum Beispiel ${\frac {|ZA|}{|AA^{\prime }|}}={\frac {|ZB|}{|BB^{\prime }|}}$ , ${\frac {|ZA|}{|ZA^{\prime }|}}={\frac {|ZB|}{|ZB^{\prime }|}}$ oder ${\frac {|AA^{\prime }|}{|ZA^{\prime }|}}={\frac {|BB^{\prime }|}{|ZB^{\prime }|}}$
Es verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die ihnen entsprechenden, vom Scheitel aus gemessenen Strecken auf jeweils demselben Strahl: ${\frac {|AB|}{|A^{\prime }B^{\prime }|}}={\frac {|ZA|}{|ZA^{\prime }|}}={\frac {|ZB|}{|ZB^{\prime }|}}$ .

Der erste Strahlensatz bezieht sich also auf die Verhältnisse von Strahlenabschnitten und der zweite auf die Verhältnisse von Strahlen- und Parallelenabschnitten.

Umkehrung des 1. Strahlensatzes:

Ist Eigenschaft 1 erfüllt, so kann man auf parallele Geraden schließen. Ist dagegen Eigenschaft 2 gegeben, so ist ein entsprechender Schluss auf Parallelität nicht möglich.

Erweiterungen

Die beiden Skizzen berücksichtigen, dass der Kreuzungspunkt Z außerhalb oder innerhalb der beiden parallelen Geraden liegen kann. Im ersten Fall spricht man gelegentlich von einer „V-Figur“ (linke Skizze), im zweiten von einer „X-Figur“ (rechte Skizze).

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Der erste und zweite Strahlensatz gelten auch, wenn man die beiden Strahlen mit gemeinsamen Ausgangspunkt $Z$ durch zwei Geraden, die sich in $Z$ schneiden, ersetzt. Liegt der Schnittpunkt $Z$ auf derselben Seite der beiden Parallelen („V-Figur“), so liegt die Situation des Strahlensatzes vor. Liegt $Z$ zwischen den beiden Parallelen („X-Figur“), so gelten aber weiterhin die für den Strahlensatz formulierten Streckenverhältnisse, da man diese Konfiguration („X-Figur“) durch eine Punktspiegelung in $Z$ in eine Strahlensatzkonfiguration („V-Figur“) mit den gleichen Streckenlängen überführen kann. Allerdings ist die Umkehrung des ersten Strahlensatzes nicht mehr möglich, wenn man ihn mit Geraden anstatt mit Strahlen formuliert.

Betrachtet man mehr als zwei Geraden oder Strahlen, die sich in einem Punkt $Z$ schneiden, so erhält man auch Aussagen über die zusätzlichen auf den Parallelen entstandenen Strecken. Es stehen je zwei Abschnitte auf den Parallelen, die einander entsprechen, in gleichem Verhältnis zueinander. Schneidet zum Beispiel eine dritte Gerade die Parallelen in $C$ und $C^{\prime }$ (siehe Zeichnung) so gilt das folgende Streckenverhältnis:

{\frac {|BC|}{|AC|}}={\frac {|B^{\prime }C^{\prime }|}{|A^{\prime }C^{\prime }|}}

Diese Aussage wird in der Literatur gelegentlich auch als dritter Strahlensatz bezeichnet.

Anwendungen

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Vermessung

In der Verhältnisgleichung des Strahlensatz bestimmen drei (bekannte) Größen die (möglicherweise unbekannte) vierte Größe. Dies lässt sich in der Vermessung von unzugänglichen, nicht direkt messbaren Strecken verwenden, indem man die nicht direkt messbare Strecke als (unbekannte) vierte Größe in einer Strahlensatzkonfigurationen wählt. Einfache Messgeräte, die auf diesem Prinzip beruhen, sind der Jakobsstab und das Försterdreieck. Auch der Daumensprung zum Schätzen von Entfernungen beruht auf diesem Prinzip.

Höhe der Cheops-Pyramide

Ein einfaches Beispiel für die Anwendung des Strahlensatzes soll auf den antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zurückgehen. Dieser habe mit Hilfe eines Stabes durch Messung der Schattenlänge die Höhe der ägyptischen Cheopspyramide ermittelt. In anderen Sprachen wird der Strahlensatz daher oft auch als Satz des Thales bezeichnet.

Die folgende Beispielrechnung ermittelt die Höhe der Cheopspyramide mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes, sie entspricht jedoch vermutlich nicht der exakten Berechnung des Thales selbst:

Zunächst bestimmt man die Seitenlänge der Pyramide und anschließend die Länge des Schattens ebenjener. Anschließend steckt man einen Stab senkrecht in den Boden und vermisst dessen Höhe und dessen Schattenlänge. Man erhält dann die folgenden Werte:

Höhe des Stabes: $A=1{,}63\,\mathrm {m}$
Schattenlänge des Stabes: $B=2{,}00\,\mathrm {m}$
Direkt messbare Schattenlänge der Pyramide: $65\,\mathrm {m}$
Seitenlänge der Pyramide: $230\,\mathrm {m}$
Gesamte Schattenlänge der Pyramide: $C=65\,\mathrm {m} +{\tfrac {1}{2}}\cdot 230\,\mathrm {m}$
Gesuchte Höhe der Pyramide: $D$

Mit Hilfe des Strahlensatzes (Skizze 2) stellt man die folgende Gleichung auf:

{\frac {D}{A}}={\frac {C}{B}}

Die Länge der Seite

C

des Dreiecks setzt sich dabei aus der halben Seitenlänge und der Länge des Schattens der Pyramide zusammen. Umgestellt nach D erhielt man

D={\frac {A\cdot C}{B}}={\frac {1{,}63\,\mathrm {m} \cdot \left(65\,\mathrm {m} +{\frac {1}{2}}\cdot 230\,\mathrm {m} \right)}{2{,}00\,\mathrm {m} }}={\frac {1{,}63\,\mathrm {m} \cdot 180\,\mathrm {m} }{2{,}00\,\mathrm {m} }}=146{,}7\,\mathrm {m}

Flussbreite

Auch in der Landvermessung kann der Strahlensatz verwendet werden, um die Länge schwer zugänglicher Strecken wie zum Beispiel die Entfernung gegenüberliegender Ufer von Gewässern zu bestimmen. Die Breite eines Flusses (siehe Grafik rechts) kann man wie folgt bestimmen. Zunächst markiert man die Endpunkte A und B der zu bestimmenden Strecke, dann konstruiert man eine zu AB rechtwinklige AC. Eine solche Konstruktion kann man zum Beispiel mit Hilfe eines Drehkreuzes, Winkelspiegels oder Doppelpentagonprisma durchführen. Auf AC wählt man einen (beliebigen) Punkt E von dem man aus den Punkt B am anderen Ufer anpeilt und die Strecke EB dann über E hinaus in die entgegengesetzte Richtung verlängert. Dann konstruiert man im Punkt C eine zu AC rechtwinklige Strecke, die die Verlängerung von EB im Punkt D schneidet. Da die Strecken AE, CE und CD alle auf derselben Uferseite liegen, lassen sie sich einfach vermessen und der zweite Strahlensatz liefert dann die gesuchte Flussbreite:

|AB|={\frac {|AE|\cdot |CD|}{|CE|}}

Teilung einer Strecke

Der erste Strahlensatz ermöglicht, mit einem einfachen Verfahren – ohne Berechnungen oder Messungen – eine Strecke in einem (ganzzahligen) Verhältnis $m:n$ ( $n,m\in \mathbb {N}$ ) zu teilen. Zu einer gegebenen Strecke AB zeichnet man einen Strahl mit Startpunkt in A ein. Dann trägt man auf dem Strahl beginnend an A m+n gleich lange und aufeinander folgende Strecken ab. Den Endpunkt der m+n-ten Strecke verbindet man mit B und zeichnet dann die Parallele zu dieser Strecke durch den Endpunkt der m-ten Strecke. Diese Parallele teilt die Strecke AB im gewünschten Verhältnis $m:n$ .

Weitere Anwendungen und Verallgemeinerungen

Zentrische Streckungen und damit das Skalieren von Grafiken.
In der Strahlenoptik beschreiben die Strahlensätze die Vergrößerungsverhältnisse bei einer Lochkamera und – zusammen mit der Linsengleichung – bei einer fehlerfreien dünnen Linse.
Die Aussagen des ersten und zweiten Strahlensatzes können in der synthetischen Geometrie auf bestimmte nichtdesarguesche Ebenen, die affinen Translationsebenen, verallgemeinert werden.
Konstruktion einer Dezimalzahl als praktisches Anwendungsbeispiel des dritten Strahlensatzes in Kombination mit Zahlenstrahlen
Multiplikation mit Zirkel und Lineal
Division mit Zirkel und Lineal
Potenz mit Zirkel und Lineal

Beweis

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Die in Satz 1 aufgestellten Streckenverhältnisse lassen sich über flächengleiche Dreiecke in der Strahlensatzfigur herleiten. Die Sätze 2 und 3 sowie die Umkehrung von Satz 1 ergeben sich dann durch die Anwendung von Satz 1 bzw. der schon bewiesenen Sätze.

Satz 1

Die Lote von $A'$ bzw. $B'$ auf die Gerade $AB$ haben die gleiche Länge, da $AB$ parallel zu $A'B'$ ist. Diese Lote sind Höhen der Dreiecke $ABB'$ bzw. $ABA'$ , welche die zugehörige Grundseite $[AB]$ gemeinsam haben. Nach dem Satz über die Dreiecksfläche gilt daher

|\triangle ABB'|=|\triangle ABA'|

Hieraus folgt

|\triangle ABB'|+|\triangle ZBA|=|\triangle ABA'|+|\triangle ZBA|

oder flächenvereint

|\triangle ZB'A|=|\triangle ZBA'|

Aus der ersten Zeile folgt:

{\frac {|\triangle ZBA|}{|\triangle ABB'|}}={\frac {|\triangle ZBA|}{|\triangle ABA'|}}

und aus der zweiten:

{\frac {|\triangle ZBA|}{|\triangle ZB'A|}}={\frac {|\triangle ZBA|}{|\triangle ZBA'|}}

Das Anwenden der Standardformel zur Flächenberechnung von Dreiecken ( ${\tfrac {g\cdot h}{2}}$ ) liefert dann

{\frac {|ZB|\cdot |AF|}{|BB'|\cdot |AF|}}={\frac {|ZA|\cdot |EB|}{|AA'|\cdot |EB|}}

und

{\frac {|ZB|\cdot |AF|}{|ZB'|\cdot |AF|}}={\frac {|ZA|\cdot |EB|}{|ZA'|\cdot |EB|}}

Kürzen liefert die ersten beiden Gleichungen aus Satz 1

{\frac {|ZB|}{|BB'|}}={\frac {|ZA|}{|AA'|}}

und

{\frac {|ZB|}{|ZB'|}}={\frac {|ZA|}{|ZA'|}}

Aus der letzten Gleichung erhält man dann

1-{\frac {|ZB|}{|ZB'|}}=1-{\frac {|ZA|}{|ZA'|}}

Nun bringt man auf beiden Seiten den jeweiligen Ausdruck auf den gleichen Nenner

{\frac {|ZB'|-|ZB|}{|ZB'|}}={\frac {|ZA'|-|ZA|}{|ZA'|}}

und dies entspricht dann der dritten Gleichung aus Satz 1

{\frac {|BB'|}{|ZB'|}}={\frac {|AA'|}{|ZA'|}}

Satz 1 – Beweis nach Archimedes

Archimedes reichte es, die Gleichheit zweier Seitenverhältnisse für einen Fall nachzuweisen. Die anderen Fälle ergeben sich daraus unmittelbar.

Der Beweis wird nicht zitiert, sondern lediglich gemäß der Archimedischen Methodenlehre ausgeführt. Mit den üblichen Seiten- und Winkelbezeichnungen für die Dreiecke $ABZ$ und $A'B'Z$ (siehe nebenstehende Skizze) wird gezeigt, dass ${\frac {a}{a^{\prime }}}={\frac {b}{b^{\prime }}}$ (entspricht ${\tfrac {\overline {BZ}}{\overline {B'Z}}}={\tfrac {\overline {AZ}}{\overline {A'Z}}}$ ) gilt. Die Winkel $\alpha$ und $\alpha$ ' sowie $\beta$ und $\beta$ ' sind als Stufenwinkel gleich.

Vorgehensweise

Bezeichne die Höhen, die durch das Lot von $Z$ auf die Geraden gegeben sind, mit $h$ und $h'$ sowie deren Fußpunkte mit $H$ und $H'$ . Da $\alpha$ gleich $\alpha$ ' ist, haben jeweils die „ferne“ Kathete und die Hypotenuse in beiden rechtwinkligen Dreiecken $AHZ$ und $A'H'Z$ dasselbe Verhältnis zueinander. (In „moderner“ Formulierung: $\sin(\alpha)$ gleich Gegenkathete von $\alpha$ zu Hypotenuse).

Demzufolge gilt

{\frac {h}{b}}={\frac {h^{\prime }}{b^{\prime }}}

und daher

{\frac {h}{h^{\prime }}}={\frac {b}{b^{\prime }}}

Aus $\beta$ gleich $\beta$ ' folgen durch entsprechende Betrachtung der Dreiecke $HBZ$ und $H'B'Z$ die Gleichungen

{\frac {h}{a}}={\frac {h^{\prime }}{a^{\prime }}}

bzw.

{\frac {h}{h^{\prime }}}={\frac {a}{a^{\prime }}}

Und schließlich

{\frac {a}{a^{\prime }}}={\frac {b}{b^{\prime }}}

Was zu beweisen war.

Satz 2

Der Satz 2 ist die konstruktive Erweiterung von Satz 1.

Konstruiere eine Parallele zu $ZB'$ durch $A$ . Diese Parallele schneidet $A'B'$ in $G$ .

Wegen $|AB|=|B'G|$ gilt aufgrund von Satz 1:

{\frac {|ZA|}{|ZA'|}}={\frac {|B'G|}{|A'B'|}}

worin sich

|B'G|

durch

|AB|

ersetzen lässt:

{\frac {|ZA|}{|ZA'|}}={\frac {|AB|}{|A'B'|}}

Umkehrung von Satz 1

Angenommen $AB$ und $A'B'$ wären nicht parallel. Dann gibt es eine Parallele zu $AB$ , die durch den Punkt $B'$ geht und den Strahl $ZA$ in $A'_{0}\neq A'$ (*) schneidet. Da nach Voraussetzung ${\tfrac {|ZA'|}{|ZA|}}={\tfrac {|ZB'|}{|ZB|}}$ gilt, ergibt sich

|ZA'|={\frac {|ZB'|\cdot |ZA|}{|ZB|}}

Andererseits gilt nach dem ersten Strahlensatz auch

|ZA'_{0}|={\frac {|ZB'|\cdot |ZA|}{|ZB|}}

Dies bedeutet, dass $A'$ und $A'_{0}$ beide auf dem Strahl $ZA$ liegen und den gleichen Abstand von $Z$ haben. Damit sind die beiden Punkte jedoch identisch, also $A'=A'_{0}$ . Dies ist ein Widerspruch dazu, dass es sich nach Bedingung (*) um 2 verschiedene Punkte handeln soll. Also führt die Annahme der Nichtparallelität zu einem Widerspruch und kann daher nicht richtig sein; oder anders ausgedrückt: Es muss $AB\parallel A'B'$ gelten.

Mehr als zwei Geraden

Satz 2 lässt sich zu Aussagen über drei oder mehr Geraden erweitern.

Ziehe eine Gerade durch $Z$ und $AB$ , dabei ergeben sich die Schnittpunkte $C$ auf $AB$ sowie $C'$ auf $A'B'$ . Konstruiere eine Parallele zu $ZB'$ durch $C$ , die $A'B'$ in $G'$ schneidet.