Additives Modell

Gegeben seien die Beobachtungen $(y_{i},x_{i1},x_{i2},\ldots,x_{ik})\quad,i=1,\ldots,n$ einer stetigen Antwortvariablen $y$ und erklärenden Variablen $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}$ , deren Effekte auf die Antwortvariable durch einen linearen Prädiktor modelliert werden können. Zusätzlichen liegen die Beobachtungen $(z_{i1},z_{i2},\ldots,z_{iq})\quad,i=1,\ldots,n$ einer stetigen erklärenden Variablen vor, deren Effekte nichtparametrisch analysiert und modelliert werden. Das Standardmodell der additiven Regression ist – falls keine Interaktionseffekte zwischen den erklärenden Variablen enthalten sind – gegeben durch:

y_{i}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}+\varepsilon _{i}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\eta _{i}^{lin.}+\varepsilon _{i}=\eta _{i}^{add.}+\varepsilon _{i}

wobei für die linearen Prädiktoren $\eta _{i}^{lin.}=\beta _{0}+x_{i1}\beta _{1}+x_{i2}\beta _{2}+\dotsc +x_{ik}\beta _{k}$ und $\eta _{i}^{add.}=f_{1}(z_{i1})+\ldots +f_{q}(z_{iq})+\eta _{i}^{lin.}$ gilt.

Die Funktionen $f_{1}(z_{1}),\ldots,f_{q}(z_{q})$ stellen die nichtlinearen Glättungseffekte der erklärenden Variablen dar und werden mittels nichtparametrischer Verfahren modelliert und geschätzt. Die gleichen Annahmen bzgl. der Störgrößen wie beim klassischen linearen Modell werden getroffen (siehe Lineare Einfachregression#Annahmen über die Störgrößen). Bei additiven Modellen tritt das Identifikationsproblem auf.

Das Standardmodell der additiven Regression

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