Enhedsrod

1 min read
In 36 languages

En enhedsrod er i matematik et komplekst tal der giver 1 når det opløftes i en heltallig eksponent. For eksempel er tallene -1 og $i$ begge enhedsrødder, da $(-1)^{2}=1$ og $i^{4}=1$ .

Definition

De $n$ 'te enhedsrødder, hvor $n$ er et naturligt tal, er de tal, som løser ligningen

z^{n}=1.

De eneste mulige reelle enhedsrødder er tallene 1 og −1: 1 er altid en enhedsrod og -1 vil være det hvis $n$ er lige. Men rødderne kan, medmindre andet er specificeret, også være komplekse tal, og her er de $n$ 'te enhedsrødder alle på formen

{\displaystyle \cos {2k\pi  \over n}+i\sin {2k\pi  \over n}=e^{2k\pi.i \over n},\quad k=0,\ldots,n-1\,.}

Der vil altid være præcis $n$ forskellige $n$ 'te enhedsrødder.

Primitive enhedsrødder

En $n$ 'te enhedsrod siges at være primitiv hvis den ikke også er en $j$ 'te enhedsrod, hvor $j$ er mindre end $n$ . Altså, hvis det gælder, at

{\displaystyle z^{n}=1\quad {\land }\quad z^{j}\neq 1{\text{ for }}1\leq j<n},

så er $z$ en primitiv $n$ 'te enhedsrod.

Hvis $n$ er et primtal gælder, at alle $n$ 'te enhedsrødder, på nær 1, er primitive.

Egenskaber

Enhedsrødder vil altid ligge på enhedscirklen i den komplekse talplan, og de $n$ 'te enhedsrødder danner hjørnerne i en regulær $n$ -kant. Derfor er alle afstanden fra alle enhedsrødder og origo (tallet 0 i den komplekse talplan) lig 1. Altså:

$|z|=1$ ,

for alle enhedsrødder $z$ .

Opløfter man en $n$ 'te enhedsrod i en heltallig eksponent vil man igen få en $n$ 'te enhedsrod, da

{\displaystyle {\bigl (}z^{k}{\bigr)}^{n}=z^{kn}={\bigl (}z^{n}{\bigr)}^{k}=1^{k}=1.}

Dette gælder også for negative eksponenter. Specielt er den reciprokke værdi af en $n$ 'te enhedsrod dens komplekst konjugerede, og den er også en $n$ 'te enhedsrod:

{\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n}z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}

Relation til Eulers totientfunktion

Lad $z$ være en primitiv $n$ 'te enhedsrod. Da vil tallet $z^{k}$ være en primitiv $m$ 'te enhedsrod for

{\displaystyle m={\frac {n}{\operatorname {sfd} (k,n)}},}

hvor $\operatorname {sfd} (k,n)$ betegner den største fælles divisor for $k$ og $n$ .

Dette skyldes, at $km$ er det mindste multiplum af $k$ , som også er et multiplum af $n$ . Altså, $km$ er det mindste fælles multiplum af $k$ og $n$ , $\operatorname {mfm} (k,n)$ . Dermed fås

{\displaystyle m={\frac {\operatorname {mfm} (k,n)}{k}}={\frac {kn}{k\operatorname {sfd} (k,n)}}={\frac {n}{\operatorname {sfd} (k,n)}}.}

Derfor, hvis $k$ og $n$ er indbyrdes primiske, så er $z^{k}$ også en primitiv $n$ 'te enhedsrod. Dette fører til, at antallet af primitive $n$ 'te enhedsrødder er lig $\varphi (n)$ , hvor $\varphi$ er Eulers totientfunktion, da $\varphi (n)$ tæller antallet af tal mindre end eller lig $n$ , som er indbyrdes primiske med $n$ . Dette forklarer også, hvorfor alle $n$ 'te enhedsrødder (på nær 1), hvor $n$ er et primtal, er primitive.

Enhedsrod

Definition

Primitive enhedsrødder

Egenskaber

Relation til Eulers totientfunktion

Read next

In 36 languages