Matematika

Para Rilindjes, matematika ndahej në dy fusha kryesore: aritmetikën, në lidhje me studimin dhe manipulimin e numrave, dhe gjeometrinë, në lidhje me studimin e formave. Disa lloje pseudoshkence, si numerologjia dhe astrologjia, nuk dalloheshin atëherë qartë nga matematika.

Duke filluar me Rilindjen, dy fusha të tjera u bënë mbizotëruese. Notacioni i ri matematikor çoi në algjebrën moderne e cila, afërsisht, fillon me studimin dhe manipulimin e shprehjeve algjebrike. Llogaritja infinitezimale, e përbërë nga dy nënfushat llogaritja diferenciale dhe llogaritja integrale, e pati origjinën në gjeometri, por evoluoi në studimin e funksioneve të vazhdueshme, të cilat modelojnë marrëdhëniet zakonisht jolineare mes sasive që ndryshojnë, të përfaqësuara nga variablat. Kjo ndarje në katër fusha kryesore – aritmetikë, gjeometri, algjebër, dhe llogaritje infinitezimale – zgjati deri në fund të shekullit XIX. Fusha të tjera që më parë studioheshin nga matematikanë, si mekanika qiellore dhe mekanika e ngurtë, tani konsiderohen si pjesë e fizikës. Subjekti i kombinatorikës është studiuar për pjesën më të madhe të historisë së shkruar, por nuk u bë degë e veçantë e matematikës deri në shekullin XVII.

Në fund të shekullit XIX, kriza themeltare në matematikë dhe përdorimi sistematik i metodës aksiomatike çuan në një shpërthim fushash të reja matematikore. Klasifikimi i Lëndëve të Matematikës i vitit 2020 përmban jo më pak se gjashtëdhjetë e tre fusha të nivelit të parë. Disa nga këto fusha korrespondojnë me ndarjen më të vjetër, siç është rasti me teorinë e numrave (emri modern për aritmetikën e lartë) dhe gjeometrinë. Disa fusha të tjera të nivelit të parë kanë "gjeometri" në emrat e tyre ose ndryshe konsiderohen zakonisht pjesë e gjeometrisë. Algjebra dhe llogaritja infinitezimale nuk shfaqen si fusha të nivelit të parë, por ndahen në disa fusha të nivelit të parë. Fusha të tjera të nivelit të parë u shfaqën gjatë shekullit XX ose më parë nuk ishin konsideruar matematikë, si logjika matematikore dhe themelet e matematikës.

Teoria e numrave

Teoria e numrave evoluoi nga manipulimi i numrave, domethënë, numrave natyrorë dhe më vonë u zgjerua në numra të plotë dhe numra racionalë Teoria e numrave dikur quhej aritmetikë, por sot ky term përdoret kryesisht për llogaritjet numerike. Studimi i numrave, siç mund të argumentohet, daton në Babiloninë e lashtë dhe ndoshta Kinën e lashtë, por u zhvillua në një disiplinë të veçantë në Greqinë e Lashtë. Dy teoricienë të hershëm të shquar të numrave ishin Euklidi dhe Diofanti i Aleksandrisë. Studimi modern i teorisë së numrave në formën e saj abstrakte i atribuohet kryesisht Pierre de Fermat-it dhe Leonhard Euler-it. Fusha arriti pjekurinë e plotë me kontributet e Adrien-Marie Legendre-s dhe Carl Friedrich Gauss-it.

Shumë probleme numrash lehtësisht të deklaruara kanë zgjidhje që kërkojnë metoda të sofistikuara, shpesh nga e gjithë matematika. Një shembull i spikatur është Teorema e Fundit e Fermat-it. Kjo hamendje u deklarua në 1637 nga Pierre de Fermat, por u vërtetua vetëm në 1994 nga Andrew Wiles, i cili përdori mjete duke përfshirë teorinë e skemave nga gjeometria algjebrike, teorinë e kategorive, dhe algjebrën homologjike. Një shembull tjetër është Hamendja e Goldbach-ut, e cila pohon se çdo numër i plotë çift më i madh se 2 është shuma e dy numrave të thjeshtë. E deklaruar në 1742 nga Christian Goldbach, mbetet e pavërtetuar pavarësisht përpjekjeve të konsiderueshme.

Teoria e numrave përfshin disa nënfusha, duke përfshirë teorinë analitike të numrave, teorinë algjebrike të numrave, gjeometrinë e numrave (e orientuar sipas metodës), analizën diofantine, dhe teorinë e transhendencës (e orientuar sipas problemit).

Gjeometria

Gjeometria është një nga degët më të vjetra të matematikës. Filloi me receta empirike që kishin të bënin me forma, si vija, kënde, dhe rrathë, të cilat u zhvilluan kryesisht për nevojat e gjeodezisë dhe arkitekturës, por që atëherë ka lulëzuar në shumë nënfusha të tjera.

Një inovacion themelor ishte futja nga grekët e lashtë e konceptit të provave, të cilat kërkojnë që çdo pohim të vërtetohet. Për shembull, nuk mjafton të verifikohet me matje se, të themi, dy gjatësi janë të barabarta; barazia e tyre duhet të vërtetohet përmes arsyetimit nga rezultate të pranuara më parë (teorema) dhe disa pohime bazë. Pohimet bazë nuk i nënshtrohen provës sepse janë vetvetiu të qarta (postulate), ose janë pjesë e përkufizimit të subjektit të studimit (aksioma). Ky parim, themeltar për gjithë matematikën, u elaborua fillimisht për gjeometrinë, dhe u sistemuazua nga Euklidi rreth 300 p.e.s në librin e tij Elementet.

Gjeometria euklidiane rezultuese është studimi i formave dhe rregullimeve të tyre të ndërtuara nga vija, plane, dhe rrathë në planin euklidian (gjeometria planare) dhe hapësirën tredimensionale euklidiane.

Gjeometria euklidiane u zhvillua pa ndryshim metodash ose shtrirje deri në shekullin XVII, kur René Descartes futi atë që tani quhet koordinata karteziane. Kjo përbënte një ndryshim të madh paradigme: në vend që t'i përkufizonte numrat realë si gjatësi segmentesh vijash (shih vijën numerike), lejoi paraqitjen e pikave duke përdorur koordinatat e tyre, që janë numra. Algjebra (dhe më vonë, llogaritja infinitezimale) mund të përdoret kështu për të zgjidhur probleme gjeometrike. Gjeometria u nda në dy nënfusha të reja: gjeometrinë sintetike, e cila përdor metoda thjesht gjeometrike, dhe gjeometrinë analitike, e cila përdor koordinata sistematikisht.

Gjeometria analitike lejon studimin e kurbave të palidhura me rrathë dhe vija. Kurba të tilla mund të përkufizohen si grafiku i funksioneve, studimi i të cilit çoi te gjeometria diferenciale. Ato mund të përkufizohen gjithashtu si ekuacione implicite, shpesh ekuacione polinomiale (të cilat lindën gjeometrinë algjebrike). Gjeometria analitike gjithashtu bën të mundur konsiderimin e hapësirave euklidiane me më shumë se tre dimensione.

Në shekullin XIX, matematikanët zbuluan gjeometritë joeuklidiane, të cilat nuk ndjekin postulatin e paraleleve. Duke vënë në pikëpyetje të vërtetën e atij postulati, ky zbulim është parë si bashkim me paradoksin e Russell-it në zbulimin e krizës themeltare të matematikës. Ky aspekt i krizës u zgjidh duke sistemuar metodën aksiomatike, dhe duke pranuar se e vërteta e aksiomave të zgjedhura nuk është problem matematik. Nga ana tjetër, metoda aksiomatike lejon studimin e gjeometrive të ndryshme, të fituara ose duke ndryshuar aksiomat ose duke konsideruar veti që nuk ndryshojnë nën transformime specifike të hapësirës.

Nënfushat e sotme të gjeometrisë përfshijnë:

• Gjeometria projektive, futur në shekullin XVI nga Girard Desargues, e zgjeron gjeometrinë euklidiane duke shtuar pika në pafundësi ku vijat paralele kryqëzohen. Kjo e thjeshton shumë aspekte të gjeometrisë klasike duke unifikuar trajtimet për vijat që kryqëzohen dhe ato paralele.
• Gjeometria afine, studimi i vetive relative ndaj paralelizmit dhe të pavarura nga koncepti i gjatësisë.
• Gjeometria diferenciale, studimi i kurbave, sipërfaqeve, dhe përgjithësimeve të tyre, të cilat përkufizohen duke përdorur funksione të diferencueshme.
• Teoria e shumësive, studimi i formave që nuk janë domosdoshmërisht të futura në një hapësirë më të madhe.
• Gjeometria rimaniane, studimi i vetive të distancës në hapësira të lakuara.
• Gjeometria algjebrike, studimi i kurbave, sipërfaqeve, dhe përgjithësimeve të tyre, të cilat përkufizohen duke përdorur polinome.
• Topologjia, studimi i vetive që ruhen nën deformime të vazhdueshme.
  • Topologjia algjebrike, përdorimi në topologji i metodave algjebrike, kryesisht algjebra homologjike.
• Gjeometria diskrete, studimi i konfigurimeve të fundme në gjeometri.
• Gjeometria konvekse, studimi i bashkësive konvekse, e cila e merr rëndësinë e saj nga zbatimet e saj në optimizim.
• Gjeometria komplekse, gjeometria e fituar duke i zëvendësuar numrat realë me numra kompleksë.

Algjebra

Algjebra është arti i manipulimit të ekuacioneve dhe formulave. Diofanti (shekulli III) dhe al-Khwarizmi (shekulli IX) ishin dy paraardhësit kryesorë të algjebrës. Diofanti zgjidhi disa ekuacione që përfshinin numra natyrorë të panjohur duke nxjerrë marrëdhënie të reja derisa arrinte zgjidhjen. Al-Khwarizmi futi metoda sistematike për transformimin e ekuacioneve, si zhvendosja e një termi nga njëra anë e një ekuacioni në anën tjetër. Termi algjebër rrjedh nga fjala arabe al-jabr, që do të thotë 'ribashkimi i pjesëve të thyera', e cila u përdor për të emërtuar një nga këto metoda në titullin e traktatit të tij kryesor.

Algjebra u bë fushë më vete vetëm me François Viète-në (1540–1603), i cili futi përdorimin e variablave për të përfaqësuar numra të panjohur ose të papërcaktuar. Variablat u lejojnë matematikanëve të përshkruajnë veprimet që duhet të kryhen mbi numrat e përfaqësuar duke përdorur formula matematikore.

Deri në shekullin XIX, algjebra përbëhej kryesisht nga studimi i ekuacioneve lineare (aktualisht algjebra lineare), dhe ekuacioneve polinomiale me një të panjohur të vetme, të quajtura ekuacione algjebrike (term ende në përdorim, edhe pse mund të jetë i paqartë). Gjatë shekullit XIX, matematikanët filluan të përdorin variabla për të përfaqësuar gjëra të tjera përveç numrave (si matricat, numrat modularë, dhe transformimet gjeometrike), mbi të cilat përgjithësime të veprimeve aritmetike shpesh janë të vlefshme. Koncepti i strukturës algjebrike e trajton këtë, duke u përbërë nga një bashkësi elementet e së cilës janë të papërcaktuara, veprime që veprojnë mbi elementet e bashkësisë, dhe rregulla që këto veprime duhet t'i ndjekin. Fusha e algjebrës kështu u rrit për të përfshirë studimin e strukturave algjebrike. Ky objekt i algjebrës u quajt algjebër moderne ose algjebra abstrakte, siç u vendos nga ndikimi dhe veprat e Emmy Noether-it, dhe u popullarizua nga libri i Van der Waerden-it Moderne Algebra.

Disa lloje strukturash algjebrike kanë veti të dobishme dhe shpesh themeltare, në shumë fusha të matematikës. Studimi i tyre u bë pjesë autonome e algjebrës, dhe përfshin:

• teorinë e grupeve
• teorinë e fushave
• hapësirat vektoriale, studimi i të cilave është në thelb i njëjtë me algjebrën lineare
• teorinë e unazave
• algjebrën komutative, e cila është studimi i unazave komutative, përfshin studimin e polinomeve, dhe është pjesë themeltare e gjeometrisë algjebrike
• algjebrën homologjike
• teorinë e algjebrave dhe grupeve Lie
• algjebrën Boole-ane, e cila përdoret gjerësisht për studimin e strukturës logjike të kompjuterëve

Studimi i llojeve të strukturave algjebrike si objekte matematikore është qëllimi i algjebrës universale dhe teorisë së kategorive. Kjo e fundit zbatohet për çdo strukturë matematikore (jo vetëm ato algjebrike). Në origjinën e saj, u fut, së bashku me algjebrën homologjike, për të lejuar studimin algjebrik të objekteve joalgjebrike si hapësirat topologjike; kjo fushë e veçantë aplikimi quhet topologji algjebrike.

Llogaritja infinitezimale dhe analiza

Llogaritja infinitezimale, dikur e quajtur thjesht llogaritje infinitezimale, u fut në mënyrë të pavarur dhe njëkohësisht nga matematikanët e shekullit XVII, Njutoni dhe Lajbnici. Është në thelb studimi i marrëdhënies mes variablave që varen vazhdimisht nga njëra-tjetra. Llogaritja infinitezimale u zgjerua në shekullin XVIII nga Euleri me futjen e konceptit të funksionit dhe shumë rezultate të tjera. Aktualisht, "llogaritja infinitezimale" i referohet kryesisht pjesës elementare të kësaj teorie, dhe "analiza" përdoret zakonisht për pjesët e avancuara.

Analiza ndahet më tej në analizën reale, ku variablat përfaqësojnë numra realë, dhe analizën komplekse, ku variablat përfaqësojnë numra kompleksë. Analiza përfshin shumë nënfusha të ndara nga fusha të tjera të matematikës, duke përfshirë:

• Llogaritjen infinitezimale me shumë variabla
• Analizën funksionale, ku variablat përfaqësojnë funksione që ndryshojnë
• Integrimin, teorinë e masës, dhe teorinë e potencialit, të gjitha të lidhura fort me teorinë e probabilitetit mbi një kontinuum
• Ekuacionet diferenciale të zakonshme
• Ekuacionet diferenciale me derivate të pjesshme
• Analizën numerike, kryesisht e dedikuar për llogaritjen e zgjidhjeve të ekuacioneve diferenciale të zakonshme dhe me derivate të pjesshme që dalin në shumë zbatime

Matematika diskrete

Matematika diskrete, gjerësisht, është studimi i objekteve matematikore individuale, të numërueshme. Një shembull është bashkësia e të gjithë numrave të plotë. Meqë objektet e studiuara këtu janë diskrete, metodat e llogaritjes infinitezimale dhe analizës matematike nuk zbatohen drejtpërdrejt. Algoritmet – veçanërisht zbatimi dhe kompleksiteti llogaritës i tyre – luajnë një rol madhor në matematikën diskrete.

Teorema e katër ngjyrave dhe paketimi optimal i sferave ishin dy probleme madhore të matematikës diskrete të zgjidhura në gjysmën e dytë të shekullit XX. Problemi P kundrejt NP-së, i cili mbetet i hapur deri sot, është gjithashtu i rëndësishëm për matematikën diskrete, pasi zgjidhja e tij potencialisht do të prekte një numër të madh problemesh llogaritëse të vështira.

Matematika diskrete përfshin:

• Kombinatorikën, artin e numërimit të objekteve matematikore që kënaqin disa kufizime të dhëna. Fillimisht, këto objekte ishin elemente ose nënbashkësi të një bashkësie të dhënë; kjo është zgjeruar në objekte të ndryshme, çka krijon një lidhje të fortë mes kombinatorikës dhe pjesëve të tjera të matematikës diskrete. Për shembull, gjeometria diskrete përfshin numërimin e konfigurimeve të formave gjeometrike.
• Teorinë e grafeve dhe hipergrafet
• Teorinë e kodimit, duke përfshirë kodet korrigjuese të gabimeve dhe një pjesë të kriptografisë
• Teorinë e matroideve
• Gjeometrinë diskrete
• Shpërndarjet e probabilitetit diskret
• Teorinë e lojërave (edhe pse studiohen gjithashtu lojëra të vazhdueshme, lojërat më të zakonshme, si shahu dhe pokeri, janë diskrete)
• Optimizimin diskret, duke përfshirë optimizimin kombinator, programimin me numra të plotë, programimin me kufizime

Logjika matematikore dhe teoria e bashkësive

Dy subjektet e logjikës matematikore dhe teorisë së bashkësive i kanë përkitur matematikës që nga fundi i shekullit XIX. Para kësaj periudhe, bashkësitë nuk konsideroheshin objekte matematikore, dhe logjika, edhe pse përdorej për prova matematikore, i përkiste filozofisë dhe nuk studiohej në mënyrë specifike nga matematikanët.

Para studimit të Cantor-it mbi bashkësitë e pafundme, matematikanët hezitonin të konsideronin koleksione realisht të pafundme, dhe e konsideronin pafundësinë si rezultat i numërimit të pafund. Puna e Cantor-it fyeu shumë matematikanë jo vetëm duke konsideruar bashkësi realisht të pafundme por duke treguar se kjo nënkupton madhësi të ndryshme pafundësie, sipas argumentit diagonal të Cantor-it. Kjo çoi te kontroversi mbi teorinë e bashkësive të Cantor-it. Në të njëjtën periudhë, fusha të ndryshme të matematikës konkluduan se përkufizimet e mëparshme intuitive të objekteve bazë matematikore ishin të pamjaftueshme për të siguruar rigorozitet matematikor.

Kjo u bë kriza themeltare e matematikës. Përfundimisht u zgjidh në matematikën mainstream duke sistemuar metodën aksiomatike brenda një teorie bashkësish të formalizuar. Afërsisht, çdo objekt matematikor përkufizohet nga bashkësia e të gjitha objekteve të ngjashme dhe vetitë që këto objekte duhet t'i kenë. Për shembull, në aritmetikën Peano, numrat natyrorë përkufizohen nga "zero është një numër", "çdo numër ka një pasardhës unik", "çdo numër përveç zeros ka një paraardhës unik", dhe disa rregulla arsyetimi. Ky abstraksion matematikor nga realiteti mishërohet në filozofinë moderne të formalizmit, siç u themelua nga David Hilbert rreth 1910.

"Natyra" e objekteve të përkufizuara në këtë mënyrë është një problem filozofik që matematikanët ua lënë filozofëve, edhe pse shumë matematikanë kanë mendime rreth kësaj natyre, dhe përdorin mendimin e tyre – ndonjëherë quajtur "intuitë" – për të udhëhequr studimin dhe provat e tyre. Kjo qasje lejon konsiderimin e "logjikave" (domethënë, bashkësive të rregullave të lejuara të nxjerrjes), teoremave, provave, etj. si objekte matematikore, dhe vërtetimin e teoremave rreth tyre. Për shembull, teoremat e paplotësisë të Gödel-it pohojnë, afërsisht, se, në çdo sistem formal të qëndrueshëm që përmban numrat natyrorë, ka teorema që janë të vërteta (domethënë të provueshme në një sistem më të fortë), por jo të provueshme brenda sistemit. Kjo qasje ndaj themeleve të matematikës u sfidua gjatë gjysmës së parë të shekullit XX nga matematikanë të udhëhequr nga Brouwer, i cili promovoi logjikën intuicioniste (së cilës i mungon eksplicit ligji i të mesit të përjashtuar).

Këto probleme dhe debate çuan në një zgjerim të gjerë të logjikës matematikore, me nënfusha si teoria e modeleve (modelimi i disa teorive logjike brenda teorive të tjera), teoria e provës, teoria e tipeve, teoria e llogaritshmërisë, dhe teoria e kompleksitetit llogaritës. Edhe pse këto aspekte të logjikës matematikore u futën para ngritjes së kompjuterëve, përdorimi i tyre në projektimin e kompajlerëve, verifikimin formal, analizën e programeve, asistentët e provës, dhe aspekte të tjera të shkencës kompjuterike, kontribuan nga ana e tyre në zgjerimin e këtyre teorive logjike.

Matematika llogaritëse

Matematika llogaritëse është studimi i problemeve matematikore që zakonisht janë tepër të mëdha për kapacitetin njerëzor llogaritës.

Pjesë e matematikës llogaritëse përfshin analizën numerike, e cila dedikohet për llogaritjen me përafrime të numrave realë (aritmetika me pikë lëvizëse). Analiza numerike ofron metoda për probleme në analizë, duke përdorur analizën funksionale dhe teorinë e përafrimit. Analiza numerike gjerësisht përfshin studimin e përafrimit dhe diskretizimit, me fokus të veçantë te gabimet e rrumbullakimit. Analiza numerike dhe, më gjerësisht, llogaritja shkencore, studiojnë gjithashtu tema joanalitike të shkencës matematikore, veçanërisht teorinë algoritmike-matricore-dhe-të-grafeve.

Një fushë tjetër e matematikës llogaritëse është algjebra kompjuterike, e cila përbëhet kryesisht nga manipulimi i formulave matematikore në kompjuter.

Vërtetimi automatik i teoremave, i cili përfshin asistentët e provës dhe kontrolluesit e provës, është një fushë tjetër e matematikës llogaritëse që përdoret për verifikimin formal dhe lejoi provën formale të teoremave të vështira matematikore si teorema Feit–Thompson mbi grupet e fundme.

Algoritmika, një pjesë e madhe e matematikës diskrete, dhe kriptografia me çelës publik gjithashtu shpesh konsiderohen si pjesë e matematikës llogaritëse.

Etimologjia

Fjala matematikë vjen nga fjala e greqishtes së lashtë máthēma (μάθημα), që do të thotë 'diçka e mësuar, njohuri, matematikë', dhe shprehja e prejardhur mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη), që do të thotë 'shkenca matematikore'. Hyri në gjuhën angleze gjatë periudhës së anglishtes së mesme të vonë përmes frëngjishtes dhe latinishtes.

Tradicionalisht, një nga dy shkollat kryesore të mendimit në pitagorianizëm njihej si mathēmatikoi (μαθηματικοί) – çka në atë kohë do të thoshte "të mësuarit" dhe jo "matematikanët" në kuptimin modern. Pitagorianët me shumë gjasa ishin të parët që kufizuan përdorimin e fjalës vetëm në studimin e aritmetikës dhe gjeometrisë. Në kohën e Aristotelit (384–322 p.e.s), ky kuptim ishte plotësisht i vendosur.

Në latinisht dhe anglisht, deri rreth 1700, termi matematikë zakonisht do të thoshte "astrologji" (ose ndonjëherë "astronomi") më shumë sesa "matematikë"; kuptimi ndryshoi gradualisht drejt atij të tanishmit prej rreth 1500 deri 1800. Ky ndryshim ka rezultuar në disa keqpërkthime: për shembull, paralajmërimi i Shën Augustinit se të krishterët duhet të ruhen nga mathematici, duke nënkuptuar "astrologë", ndonjëherë keqpërkthehet si dënim i matematikanëve.

Forma e dukshme shumësi në anglisht i kthehet mbrapsht shumësit asnjanës latin mathematica (Ciceroni), bazuar në shumësin grek ta mathēmatiká (τὰ μαθηματικά) dhe do të thotë afërsisht "të gjitha gjërat matematikore", edhe pse është e mundshme që anglishtja huazoi vetëm mbiemrin mathematic(al) dhe formoi emrin mathematics rishtazi, sipas modelit të physics dhe metaphysics, të trashëguar nga greqishtja. Në anglisht, emri mathematics merr folje njëjës. Shpesh shkurtohet në maths ose, në Amerikën e Veriut, math.

E lashtë

Përveç njohjes së mënyrës si numërohen objektet fizike, popujt parahistorikë mund të kenë ditur gjithashtu si të numëronin sasi abstrakte, si koha – ditë, stinë, ose vite.

Dëshmi arkeologjike kanë sugjeruar se sistemi egjiptian i lashtë i numërimit e pati origjinën në Afrikën Subsahariane. Gjithashtu, dizajnet e gjeometrisë fraktale, të përhapura gjerësisht mes kulturave subsahariane, gjenden edhe në arkitekturën dhe shenjat kozmologjike egjiptiane. Kocka e Ishango-s, sipas studiuesit Alexander Marshack, mund të ketë ndikuar zhvillimin e mëvonshëm të matematikës në Egjipt, pasi, ashtu si disa shënime në kockën e Ishango-s, aritmetika egjiptiane gjithashtu përdori shumëzimin me 2; kjo, sidoqoftë, është e kontestuar. Strukturat megalitike të vendosura në Nabta Playa, Egjiptin e Epërm, përfshinin astronomi, rregullime kalendarike në përputhje me lindjen heliakale të Siriusit dhe mbështetën kalibrimin e kalendarit vjetor për përmbytjen vjetore të Nilit. Nubianët e lashtë krijuan një sistem rregullash gjeometrike që shërbeu si bazë për orët diellore fillestare. Nubianët praktikuan gjithashtu një metodologji trigonometrike të krahasueshme me atë të egjiptianëve.

Dëshmi për matematikë më komplekse nuk shfaqet deri rreth vitit 3000 p.e.s, kur babilonasit dhe egjiptianët filluan të përdornin aritmetikën, algjebrën, dhe gjeometrinë për taksim dhe llogaritje të tjera financiare, për ndërtim, dhe për astronomi. Tekstet më të vjetra matematikore nga Mesopotamia dhe Egjipti janë nga 2000 deri 1800 p.e.s. Shumë tekste të hershme përmendin trefisha pitagorikë, dhe kështu, me inferencë, teorema e Pitagorës duket të jetë koncepti matematikor më i lashtë dhe më i përhapur pas aritmetikës dhe gjeometrisë bazë. Është në matematikën babilonase që aritmetika elementare (mbledhja, zbritja, shumëzimi, dhe pjesëtimi) shfaqet për herë të parë në regjistrimin arkeologjik. Babilonasit gjithashtu posedonin një sistem me vlerë-pozicion dhe përdorën një sistem numerik seksagjimal, ende në përdorim sot për matjen e këndeve dhe kohës.

Deri në shekullin V p.e.s, matematika greke filloi të shfaqej si disiplinë e veçantë dhe disa grekë të lashtë, si pitagorianët, dukej se e konsideronin një subjekt më vete. Rreth vitit 300 p.e.s, Euklidi organizoi njohuritë matematikore përmes postulateve dhe parimeve të para, të cilat evoluuan në metodën aksiomatike të përdorur sot në matematikë, e përbërë nga përkufizimi, aksioma, teorema, dhe prova. Libri i tij, Elementet, mbulon gjeometrinë dhe teorinë e numrave dhe konsiderohet gjerësisht teksti shkollor më i suksesshëm dhe me ndikim i të gjitha kohërave. Një tjetër matematikan i njohur i lashtësisë është Arkimedi nga Siraku­za (rr. 287 – rr. 212 p.e.s). Ai zhvilloi metoda për llogaritjen e sipërfaqes dhe vëllimit të trupave të rrotullimit, duke përdorur mes tjerash metodën e shterimit për të llogaritur sipërfaqen nën harkun e një parabole me shumëzimin e një serie të pafundme, në një mënyrë kujtuese për llogaritjen infinitezimale moderne. Arritje të tjera të njohura të matematikës greke janë prerjet konike (Apoloni i Pergës, shekulli III p.e.s), trigonometria (Hiparku i Nikeas, shekulli II p.e.s), dhe fillimet e algjebrës paramoderne (Diofanti, shekulli III e.s).

Sistemi numerik indo-arab dhe rregullat për përdorimin e veprimeve të tij, në përdorim në mbarë botën sot, evoluan gjatë mijëvjeçarit të parë e.s në Indi dhe u transmetuan në botën perëndimore përmes matematikës islame. Zhvillime të tjera të njohura të matematikës indiane përfshijnë përkufizimin dhe përafrimin modern të sinusit dhe kosinusit, dhe një formë të hershme të serisë së pafundme.

Mesjeta dhe më vonë

Gjatë Epokës së Artë Islame, veçanërisht gjatë shekujve IX dhe X, matematika pa shumë inovacione të rëndësishme që ndërtonin mbi matematikën greke. Arritja më e njohur e matematikës islame ishte zhvillimi i algjebrës. Arritje të tjera të periudhës islame përfshijnë përparime në trigonometrinë sferike dhe shtimin e pikës dhjetore te sistemi numerik arab. Shumë matematikanë të njohur nga kjo periudhë ishin persianë, si al-Khwarizmi, Omar Khajami, dhe Sharaf al-Din al-Tusi. Tekstet matematikore greke dhe arabe u përkthyen nga ana e tyre në latinisht gjatë Mesjetës dhe u bënë të disponueshme në Evropë.

Gjatë periudhës së hershme moderne, matematika filloi të zhvillohej me ritëm në rritje në Evropën Perëndimore, me inovacione që revolucionarizuan matematikën, si futja e variablave dhe notacionit simbolik i atribuar François Viète-së (1540–1603), futja e logaritmeve nga John Napier në 1614, gjë që thjeshtoi ndjeshëm llogaritjet numerike, veçanërisht për astronominë dhe lundrimin detar, futja e koordinatave karteziane nga René Descartes (1596–1650) për reduktimin e gjeometrisë në algjebër, dhe zhvillimi i llogaritjes infinitezimale nga Isaac Newton (1643–1727) dhe Gottfried Leibniz (1646–1716). Leonhard Euler (1707–1783) i unifikoi dhe i ndërtoi mbi këto inovacione me terminologji të standardizuar, dhe i plotësoi me zbulimin dhe provat e teoremave të shumta.

Ndoshta matematikani më i shquar i shekullit XIX ishte matematikani gjerman Carl Gauss, i cili dha kontribute të shumta në fusha si algjebra, analiza, gjeometria diferenciale, teoria e matricave, teoria e numrave, dhe statistika. Në fillim të shekullit XX, Kurt Gödel e transformoi matematikën duke botuar teoremat e tij të paplotësisë, të cilat tregojnë pjesërisht se çdo sistem aksiomatik i qëndrueshëm – nëse është mjaftueshëm i fuqishëm për të përshkruar aritmetikën – do të përmbajë propozime të vërteta që nuk mund të vërtetohen.

Matematika që atëherë është zgjeruar shumë, dhe ka pasur një ndërveprim frytdhënës mes matematikës dhe shkencës, në dobi të të dyjave. Zbulimet matematikore vazhdojnë të bëhen deri në ditët e sotme. Sipas Mikhail B. Sevryuk, në numrin e janarit 2006 të Bulletin of the American Mathematical Society, "Numri i punimeve dhe librave të përfshirë në bazën e të dhënave Mathematical Reviews (MR) që nga 1940 (viti i parë i funksionimit të MR) tani është më shumë se 1,9 milionë, dhe më shumë se 75 mijë artikuj shtohen në bazën e të dhënave çdo vit. Shumica dërrmuese e punimeve në këtë oqean përmbajnë teorema të reja matematikore dhe provat e tyre."

Notacioni matematikor përdoret gjerësisht në shkencë dhe inxhinieri për të përfaqësuar koncepte dhe veti komplekse në mënyrë koncize, të paqartë, dhe të saktë. Ky notacion përbëhet nga simbole të përdorura për të përfaqësuar veprime, numra të papërcaktuar, marrëdhënie, dhe çdo objekt tjetër matematikor, dhe pastaj duke i bashkuar në shprehje dhe formula. Më saktë, numrat dhe objektet e tjera matematikore përfaqësohen nga simbole të quajtura variabla, të cilat përgjithësisht janë shkronja latine ose greke, dhe shpesh përfshijnë indekse. Veprimet dhe marrëdhëniet përfaqësohen përgjithësisht nga simbole ose glife specifike, si + (plus), × (shumëzim), (integral), = (të barabartë), dhe < (më pak se). Të gjitha këto simbole përgjithësisht grupohen sipas rregullave specifike për të formuar shprehje dhe formula. Zakonisht, shprehjet dhe formulat nuk shfaqen vetëm, por përfshihen në fjali të gjuhës aktuale, ku shprehjet luajnë rolin e frazave emërore dhe formulat luajnë rolin e fjalive të nënrenditura.

Matematika ka zhvilluar një terminologji të pasur që mbulon një gamë të gjerë fushash që studiojnë vetitë e objekteve të ndryshme abstrakte, të idealizuara, dhe si ato ndërveprojnë. Bazohet në përkufizime rigoroze që ofrojnë një themel standard për komunikim. Një aksiomë ose postulat është një pohim matematikor që merret si i vërtetë pa nevojën për provë. Nëse një pohim matematikor ende nuk është vërtetuar (ose hedhur poshtë), quhet hamendje. Përmes një serie argumentesh rigoroze që përdorin arsyetim deduktiv, një pohim që vërtetohet i vërtetë bëhet teoremë. Një teoremë e specializuar që përdoret kryesisht për të vërtetuar një teoremë tjetër quhet lemë. Një rast i vërtetuar që përbën pjesë të një gjetjeje më të përgjithshme quhet korolar.

Shumë terma teknikë të përdorur në matematikë janë neologjizma, si polinom dhe homeomorfizëm. Terma të tjerë teknikë janë fjalë të gjuhës së zakonshme që përdoren në një kuptim të saktë që mund të ndryshojë pak nga kuptimi i tyre i zakonshëm. Për shembull, në matematikë, "ose" do të thotë "njëri, tjetri ose të dy", ndërsa, në gjuhën e zakonshme, është ose e paqartë ose do të thotë "njëri ose tjetri por jo të dy" (në matematikë, ky i fundit quhet "ose ekskluziv"). Së fundi, shumë terma matematikorë janë fjalë të zakonshme që përdoren me kuptim krejtësisht të ndryshëm. Kjo mund të çojë në fjali që janë pohime matematikore korrekte dhe të vërteta, por që duken si marrëzi për njerëz që nuk kanë sfondin e kërkuar. Për shembull, "çdo modul i lirë është i sheshtë" dhe "një fushë është gjithmonë një unazë".

Matematika përdoret në shumicën e shkencave për modelimin e fenomeneve, gjë që më pas lejon bërjen e parashikimeve nga ligje eksperimentale. Pavarësia e së vërtetës matematikore nga çdo eksperimentim nënkupton se saktësia e parashikimeve të tilla varet vetëm nga përshtatshmëria e modelit. Parashikimet e pasakta, në vend që të shkaktohen nga koncepte të pavlefshme matematikore, nënkuptojnë nevojën për të ndryshuar modelin matematikor të përdorur. Për shembull, precesioni i periheliut të Merkurit mund të shpjegohej vetëm pas shfaqjes së relativitetit të përgjithshëm të Ajnshtajnit, i cili zëvendësoi ligjin e gravitetit të Njutonit si model matematikor më i mirë.

Ekziston ende një debat filozofik nëse matematika është shkencë. Sidoqoftë, në praktikë, matematikanët zakonisht grupohen me shkencëtarët, dhe matematika ka shumë të përbashkëta me shkencat fizike. Ashtu si ato, është e falsifikueshme, çka do të thotë në matematikë se, nëse një rezultat ose teori është e gabuar, kjo mund të vërtetohet duke dhënë një kundërshembull. Ngjashëm si në shkencë, teoritë dhe rezultatet (teoremat) shpesh fitohen nga eksperimentimi. Në matematikë, eksperimentimi mund të përbëhet nga llogaritje mbi shembuj të përzgjedhur ose nga studimi i figurave ose përfaqësimeve të tjera të objekteve matematikore (shpesh përfaqësime mendore pa mbështetje fizike). Për shembull, kur u pyet se si arriti te teoremat e tij, Gaussi një herë u përgjigj "durch planmässiges Tattonieren" (përmes eksperimentimit sistematik). Sidoqoftë, disa autorë theksojnë se matematika ndryshon nga nocioni modern i shkencës duke mos u mbështetur në dëshmi empirike.

Matematika e pastër dhe e aplikuar

Deri në shekullin XIX, nuk kishte dallim të qartë mes matematikës së pastër dhe të aplikuar siç kuptohen sot. Dallimi mes zhvillimit të matematikës për hir të vetes ose për zbatimet e saj ishte mjaft i lëngshëm: numrat natyrorë dhe aritmetika u futën për nevojën e numërimit, dhe gjeometria u motivua nga gjeodezia, arkitektura, dhe astronomia, por të dy subjektet shpejt qëndruan më vete. Më vonë, Isaac Newton përdori llogaritjen infinitezimale pjesërisht për të ndihmuar në shpjegimin e lëvizjes së planetëve dhe ligjit të tij të gravitetit. Për më tepër, që nga antikiteti, shumica e matematikanëve ishin gjithashtu shkencëtarë, dhe shumë shkencëtarë ishin gjithashtu matematikanë. Sidoqoftë, tradita perëndimore e matematikës së pastër i gjurmon rrënjët e saj deri në Greqinë e Lashtë. Problemi i faktorizimit të numrave të plotë, për shembull, i cili i kthehet mbrapsht Euklidit në 300 p.e.s, nuk kishte zbatim praktik para përdorimit të tij në kriptosistemin RSA, tani i përdorur gjerësisht për sigurinë e rrjeteve kompjuterike.

Në shekullin XIX, matematikanë si Karl Weierstrass dhe Richard Dedekind përqendruan gjithnjë e më shumë hulumtimin e tyre te probleme të brendshme, domethënë, matematika e pastër. Kjo çoi në ndarjen e matematikës në matematikë të pastër dhe matematikë të aplikuar, kjo e fundit shpesh e konsideruar me vlerë më të ulët mes puristëve matematikorë. Sidoqoftë, kufijtë mes të dyjave janë shpesh të paqartë.

Pasojat e Luftës së Dytë Botërore çuan në një rritje të zhvillimit të matematikës së aplikuar në SHBA dhe gjetkë. Shumë nga teoritë e zhvilluara për zbatime u gjetën interesante nga këndvështrimi i matematikës së pastër, dhe shumë rezultate të matematikës së pastër u treguan se kishin zbatime jashtë matematikës; nga ana tjetër, studimi i këtyre zbatimeve mund të japë njohuri të reja mbi "teorinë e pastër".

Një shembull i rastit të parë është teoria e shpërndarjeve, e futur nga Laurent Schwartz për vërtetimin e llogaritjeve të bëra në mekanikën kuantike, e cila u bë menjëherë një mjet i rëndësishëm i analizës matematikore (të pastër). Një shembull i rastit të dytë është vendimshmëria e teorisë së rendit të parë të numrave realë, një problem i matematikës së pastër që u vërtetua i vërtetë nga Alfred Tarski, me një algoritëm që është i pamundur të zbatohet për shkak të një kompleksiteti llogaritës shumë të lartë. Për të fituar një algoritëm që mund të zbatohet dhe mund të zgjidhë sisteme ekuacionesh dhe pabarazish polinomiale, George Collins futi dekompozimin algjebrik cilindrik që u bë mjet themeltar në gjeometrinë reale algjebrike.

Sot, dallimi mes matematikës së pastër dhe të aplikuar është më shumë çështje e qëllimit personal hulumtues të matematikanëve sesa ndarje e matematikës në fusha të gjera. Klasifikimi i Lëndëve të Matematikës ka një seksion për "matematikë e aplikuar e përgjithshme" por nuk e përmend "matematikën e pastër". Sidoqoftë, këta terma ende përdoren në emrat e disa departamenteve universitare, si te Fakulteti i Matematikës në Universitetin e Kembrixhit.

Efektiviteti i pashpjegueshëm

Efektiviteti i pashpjegueshëm i matematikës është një fenomen që u emërtua dhe u bë i qartë për herë të parë nga fizikani Eugene Wigner. Është fakti se shumë teori matematikore (edhe "më të pastrat") kanë zbatime jashtë objektit të tyre fillestar. Këto zbatime mund të jenë krejtësisht jashtë fushës së tyre fillestare matematikore, dhe mund të kenë të bëjnë me fenomene fizike që ishin krejtësisht të panjohura kur teoria matematikore u fut. Shembuj zbatimesh të papritura të teorive matematikore mund të gjenden në shumë fusha të matematikës.

Një shembull i njohur është faktorizimi i thjeshtë i numrave natyrorë, i zbuluar më shumë se 2.000 vjet para përdorimit të tij të zakonshëm për komunikime të sigurta interneti përmes kriptosistemit RSA. Një shembull i dytë historik është teoria e elipsave. Ato u studiuan nga matematikanët e lashtë grekë si prerje konike (domethënë, prerje konesh me plane). Ishin pothuajse 2.000 vjet më vonë që Johannes Kepler zbuloi se trajektoret e planetëve janë elipsa.

Në shekullin XIX, zhvillimi i brendshëm i gjeometrisë (matematika e pastër) çoi në përkufizimin dhe studimin e gjeometrive joeuklidiane, hapësirave me dimension më të lartë se tre, dhe shumësive. Në atë kohë, këto koncepte dukeshin krejtësisht të shkëputura nga realiteti fizik, por në fillim të shekullit XX, Albert Ajnshtajni zhvilloi teorinë e relativitetit që përdor thelbësisht këto koncepte. Në veçanti, hapësirë-koha e relativitetit special është një hapësirë joeuklidiane me dimension katër, dhe hapësirë-koha e relativitetit të përgjithshëm është një shumësi (i lakuar) me dimension katër.

Një aspekt mbresëlënës i ndërveprimit mes matematikës dhe fizikës është kur matematika drejton hulumtimin në fizikë. Kjo ilustrohet nga zbulimet e pozitronit dhe barionit Në të dyja rastet, ekuacionet e teorive kishin zgjidhje të pashpjeguara, gjë që çoi në hamendjen e ekzistencës së një grimce të panjohur, dhe kërkimin për këto grimca. Në të dyja rastet, këto grimca u zbuluan disa vjet më vonë nga eksperimente specifike.

Shkenca specifike

Fizika

Matematika dhe fizika kanë ndikuar njëra-tjetrën gjatë gjithë historisë së tyre moderne. Fizika moderne përdor matematikën gjerësisht, dhe konsiderohet gjithashtu të jetë motivimi i zhvillimeve të mëdha matematikore.

Llogaritja kompjuterike

Llogaritja kompjuterike lidhet ngushtë me matematikën në disa mënyra. Shkenca kompjuterike teorike konsiderohet të jetë matematikore në natyrë. Teknologjitë e komunikimit zbatojnë degë të matematikës që mund të jenë shumë të vjetra (p.sh., aritmetika), veçanërisht në lidhje me sigurinë e transmetimit, në kriptografi dhe teorinë e kodimit. Matematika diskrete është e dobishme në shumë fusha të shkencës kompjuterike, si teoria e kompleksitetit, teoria e informacionit, dhe teoria e grafeve. Në 1998, hamendja e Keplerit mbi paketimin e sferave dukej gjithashtu pjesërisht e vërtetuar nga kompjuteri.

Statistika dhe shkencat e tjera të vendimmarrjes

Fusha e statistikës është një zbatim matematikor që përdoret për mbledhjen dhe përpunimin e mostrave të të dhënave, duke përdorur procedura bazuar në metoda matematikore si, dhe veçanërisht, teoria e probabilitetit. Statisticienët gjenerojnë të dhëna me mostrim të rastësishëm ose eksperimente të randomizuara.

Teoria statistikore studion probleme vendimi, si minimizimi i riskut (humbjes së pritur) të një veprimi statistikor, si përdorimi i një procedure në, për shembull, vlerësimin e parametrave, testimin e hipotezave, dhe përzgjedhjen e më të mirit. Në këto fusha tradicionale të statistikës matematikore, një problem vendim-statistikor formulohet duke minimizuar një funksion objektiv, si humbja e pritur ose kostoja, nën kufizime specifike. Për shembull, projektimi i një sondazhi shpesh përfshin minimizimin e kostos së vlerësimit të një mesatareje popullate me një nivel të dhënë besueshmërie. Për shkak të përdorimit të saj të optimizimit, teoria matematikore e statistikës mbivendoset me shkenca të tjera vendimi, si hulumtimi i operacioneve, teoria e kontrollit, dhe ekonomia matematikore.

Biologjia dhe kimia

Biologjia përdor probabilitetin gjerësisht në fusha si ekologjia ose neurobiologjia. Shumica e diskutimeve mbi probabilitetin përqendrohen te koncepti i përshtatshmërisë evolucionare. Ekologjia përdor intensivisht modelimin për të simuluar dinamikat e popullatës, për të studiuar ekosisteme si modeli gjahtar-pré, për të matur difuzionin e ndotjes, ose për të vlerësuar ndryshimet klimatike. Dinamika e një popullate mund të modelohet nga ekuacione diferenciale të lidhura, si ekuacionet Lotka–Volterra.

Testimi i hipotezave statistikore kryhet mbi të dhëna nga provat klinike për të përcaktuar nëse një trajtim i ri funksionon. Që nga fillimi i shekullit XX, kimia ka përdorur llogaritjen kompjuterike për të modeluar molekula në tri dimensione.

Shkencat e Tokës

Gjeologjia strukturore dhe klimatologjia përdorin modele probabilistike për të parashikuar rrezikun e katastrofave natyrore. Ngjashëm, meteorologjia, oqeanografia, dhe planetologjia gjithashtu përdorin matematikën për shkak të përdorimit të tyre të dendur të modeleve.

Shkencat shoqërore

Fusha të matematikës të përdorura në shkencat shoqërore përfshijnë probabilitetin/statistikën dhe ekuacionet diferenciale. Këto përdoren në gjuhësi, ekonomi, sociologji, dhe psikologji.

Shpesh postulati themeltar i ekonomisë matematikore është ai i aktorit individual racional – Homo economicus ("njeriu ekonomik"). Në këtë model, individi kërkon të maksimizojë interesin e tij vetjak, dhe gjithmonë bën zgjedhje optimale duke përdorur informacion të përsosur. Kjo pikëpamje atomiste e ekonomisë i lejon asaj ta matematizojë relativisht lehtë të menduarit e saj, sepse llogaritjet individuale transpozohen në llogaritje matematikore. Modelimi i tillë matematikor lejon dikë të sondojë mekanizmat ekonomikë. Disa e refuzojnë ose e kritikojnë konceptin e Homo economicus-it. Ekonomistët vërejnë se njerëzit e vërtetë kanë informacion të kufizuar, bëjnë zgjedhje të dobëta, dhe kujdesen për drejtësinë dhe altruizmin, jo vetëm fitimin personal.

Pa modelimin matematikor, është e vështirë të shkohet përtej vëzhgimeve statistikore ose spekulimeve të patestueshme. Modelimi matematikor u lejon ekonomistëve të krijojnë kuadro të strukturuara për të testuar hipoteza dhe për të analizuar ndërveprime komplekse. Modelet ofrojnë qartësi dhe saktësi, duke mundësuar përkthimin e koncepteve teorike në parashikime të matshme që mund të testohen kundrejt të dhënave të botës reale.

Në fillim të shekullit XX, pati një zhvillim për të shprehur lëvizjet historike në formula. Në 1922, Nikolai Kondratiev dalloi ciklin ~50-vjeçar Kondratiev, i cili shpjegon faza rritjeje ose krize ekonomike. Drejt fundit të shekullit XIX, matematikanët e zgjeruan analizën e tyre në gjeopolitikë. Peter Turchin zhvilloi kliodinamikën në vitet 1990.

Matematizimi i shkencave shoqërore nuk është pa rrezik. Në librin kontrovers Fashionable Nonsense (1997), Sokal dhe Bricmont denoncuan përdorimin e pabazuar ose abuziv të terminologjisë shkencore, veçanërisht nga matematika ose fizika, në shkencat shoqërore. Studimi i sistemeve komplekse (evolucioni i papunësisë, kapitali i biznesit, evolucioni demografik i një popullate, etj.) përdor njohuri matematikore. Sidoqoftë, zgjedhja e kritereve të numërimit, veçanërisht për papunësinë, ose e modeleve, mund të jetë subjekt kontroverse.

Realiteti

Lidhja mes matematikës dhe realitetit material ka çuar në debate filozofike që nga të paktën koha e Pitagorës. Filozofi i lashtë Platoni argumentoi se abstraksionet që pasqyrojnë realitetin material kanë vetë një realitet që ekziston jashtë hapësirës dhe kohës. Si rezultat, pikëpamja filozofike se objektet matematikore disi ekzistojnë vetë në abstraksion shpesh quhet platonizëm. Pavarësisht nga mendimet e tyre të mundshme filozofike, matematikanët modernë përgjithësisht mund të konsiderohen platonistë, pasi ata mendojnë dhe flasin për objektet e tyre të studimit si objekte reale.

Armand Borel e përmblodhi këtë pikëpamje të realitetit matematikor si më poshtë, dhe ofroi citate nga G. H. Hardy, Charles Hermite, Henri Poincaré, dhe Albert Ajnshtajni që mbështesin pikëpamjet e tij.

Diçka bëhet objektive (në kundërshtim me "subjektive") sapo të bindemi se ekziston në mendjet e të tjerëve në të njëjtën formë siç ekziston në tonat dhe se mund të mendojmë për të dhe ta diskutojmë së bashku. Meqë gjuha e matematikës është kaq e saktë, është idealisht e përshtatshme për të përkufizuar koncepte për të cilat ekziston një konsensus i tillë. Sipas mendimit tim, kjo mjafton për të na dhënë një ndjesi të ekzistencës objektive, të një realiteti të matematikës...

Sidoqoftë, platonizmi dhe pikëpamjet konkurruese mbi abstraksionin nuk e shpjegojnë efektivitetin e pashpjegueshëm të matematikës (pasi platonizmi supozon se matematika ekziston në mënyrë të pavarur, por nuk shpjegon pse përputhet me realitetin).

Përkufizimet e propozuara

Nuk ka konsensus të përgjithshëm mbi përkufizimin e matematikës ose statusin e saj epistemologjik – domethënë, vendin e saj brenda njohurisë. Shumë matematikanë profesionistë nuk tregojnë interes për një përkufizim të matematikës, ose e konsiderojnë të papërkufizueshme. Nuk ka as konsensus mbi faktin nëse matematika është art apo shkencë. Disa thjesht thonë, "matematika është ajo që bëjnë matematikanët". Një qasje e zakonshme është përkufizimi i matematikës sipas objektit të saj të studimit.

Aristoteli e përkufizoi matematikën si "shkencën e sasisë" dhe ky përkufizim mbizotëroi deri në shekullin XVIII. Sidoqoftë, Aristoteli vuri në dukje gjithashtu se fokusimi vetëm te sasia mund të mos e dallojë matematikën nga shkenca si fizika; sipas tij, abstraksioni dhe studimi i sasisë si veti "e ndashme në mendim" nga rastet reale e dallonte matematikën. Në shekullin XIX, kur matematikanët filluan të trajtonin tema – si bashkësitë e pafundme – që nuk kanë marrëdhënie të qartë me realitetin fizik, u dhanë një shumëllojshmëri përkufizimesh të reja. Me numrin e madh të fushave të reja të matematikës që janë shfaqur që nga fillimi i shekullit XX, përkufizimi i matematikës sipas objektit të saj të studimit është bërë gjithnjë e më i vështirë. Për shembull, në vend të një përkufizimi, Saunders Mac Lane në Mathematics, form and function përmbledh bazat e disa fushave të matematikës, duke theksuar ndërlidhjen e tyre, dhe vëren:

zhvillimi i matematikës ofron një rrjet të lidhur ngushtë rregullash, konceptesh, dhe sistemesh formale. Nyjet e këtij rrjeti janë të lidhura ngushtë me procedura të dobishme në aktivitetet njerëzore dhe me pyetje që dalin në shkencë. Kalimi nga aktivitetet te sistemet formale matematikore udhëhiqet nga një shumëllojshmëri njohurish dhe idesh të përgjithshme.

Një qasje tjetër për të përkufizuar matematikën është përdorimi i metodave të saj. Për shembull, një fushë studimi shpesh kualifikohet si matematikë sapo dikush mund të vërtetojë teorema – pohime vlefshmëria e të cilave mbështetet në një provë, domethënë, një deduksion thjesht logjik.

Rigoroziteti

Arsyetimi matematikor kërkon rigorozitet. Kjo do të thotë se përkufizimet duhet të jenë absolutisht të pamëdyshta dhe provat duhet të jenë të reduktueshme në një sukcesion zbatimesh të rregullave të inferencës, pa asnjë përdorim të dëshmisë empirike dhe intuitës. Arsyetimi rigoroz nuk është specifik për matematikën, por, në matematikë, standardi i rigorozitetit është shumë më i lartë sesa gjetkë. Pavarësisht koncizitetit të matematikës, provat rigoroze mund të kërkojnë qindra faqe për t'u shprehur, si teorema Feit–Thompson prej 255 faqesh. Shfaqja e provave me ndihmën e kompjuterit ka lejuar gjatësinë e provave të zgjerohet më tej. Rezultati i kësaj prirjeje është një filozofi e provës kuazi-empiriciste që nuk mund të konsiderohet e pagabueshme, por ka një probabilitet të lidhur me të.

Koncepti i rigorozitetit në matematikë daton në Greqinë e lashtë, ku shoqëria e tyre inkurajonte arsyetim logjik, deduktiv. Sidoqoftë, kjo qasje rigoroze tenderonte të dekurajonte eksplorimin e qasjeve të reja, si numrat irracionalë dhe konceptet e pafundësisë. Metoda e demonstrimit të provës rigoroze u përmirësua në shekullin XVI përmes përdorimit të notacionit simbolik. Në shekullin XVIII, tranzicioni social çoi në atë që matematikanët të fitonin jetesën përmes mësimdhënies, gjë që çoi në mendim më të kujdesshëm rreth koncepteve themelore të matematikës. Kjo prodhoi qasje më rigoroze, ndërsa kalohej nga metodat gjeometrike te provat algjebrike dhe pastaj aritmetikore.

Në fund të shekullit XIX, u duk se përkufizimet e koncepteve bazë të matematikës nuk ishin mjaft të sakta për të shmangur paradokset (gjeometritë joeuklidiane dhe funksioni Weierstrass) dhe kontradiktat (paradoksi i Russell-it). Kjo u zgjidh me përfshirjen e aksiomave me rregullat apodiktike të inferencës të teorive matematikore; rifutja e metodës aksiomatike e nisur nga grekët e lashtë. Rezulton se "rigoroziteti" nuk është më koncept relevant në matematikë, pasi një provë ose është korrekte ose e gabuar, dhe një "provë rigoroze" është thjesht një pleonazëm. Aty ku hyn në lojë një koncept i veçantë rigoroziteti është në aspektet e socializuara të një prove, ku ajo mund të hidhet poshtë në mënyrë të demonstrueshme nga matematikanë të tjerë. Pasi një provë është pranuar për shumë vite ose madje dekada, atëherë mund të konsiderohet e besueshme.

Sidoqoftë, koncepti i "rigorozitetit" mund të mbetet i dobishëm për t'u mësuar fillestarëve se çfarë është një provë matematikore.

Arsimi

Matematika ka një aftësi të jashtëzakonshme për të kapërcyer kufijtë kulturorë dhe periudhat kohore. Si aktivitet njerëzor, praktika e matematikës ka një anë sociale, e cila përfshin arsimin, karrierat, njohjen, popullarizimin, e kështu me radhë. Në arsim, matematika është një pjesë thelbësore e kurrikulës dhe formon një element të rëndësishëm të disiplinave akademike STEM. Karriera të spikatura për matematikanët profesionistë përfshijnë mësues ose profesor matematike, statisticien, aktuar, analist financiar, ekonomist, kontabilist, tregtar mallrash, ose konsulent teknologjie informacioni.

Dëshmi arkeologjike tregojnë se instruksioni në matematikë ndodhi që në mijëvjeçarin e dytë p.e.s në Babiloninë e lashtë. Dëshmi e krahasueshme është zbuluar për trajnimin e shkrimtarëve në matematikë në Lindjen e Afërme të lashtë dhe më pas për botën greko-romake duke filluar rreth 300 p.e.s. Teksti shkollor më i vjetër i njohur i matematikës është papirusi Rhind, i datuar rreth 1650 p.e.s në Egjipt. Për shkak të pakicës së librave, mësimet matematikore në Indinë e lashtë komunikoheshin duke përdorur traditë gojore të memorizuar që nga periudha vedike (rreth 1500–500 p.e.s). Në Kinën Perandorake gjatë Dinastisë Tang (618–907 e.s), një kurrikulë matematike u miratua për provimin e shërbimit civil për t'iu bashkuar burokracisë shtetërore.

Pas Epokave të Errëta, arsimi matematikor në Evropë u ofrua nga shkollat fetare si pjesë e Quadrivium-it. Revista më e vjetër që trajtonte instruksionin në matematikë ishte L'Enseignement Mathématique, e cila filloi botimin në 1899. Përparimet perëndimore në shkencë dhe teknologji çuan në krijimin e sistemeve arsimore të centralizuara në shumë shtete-kombe, me matematikën si përbërës themelor – fillimisht për zbatimet e saj ushtarake. Ndërsa përmbajtja e kurseve ndryshon, sot pothuajse të gjitha vendet ua mësojnë matematikën nxënësve për sasi të konsiderueshme kohe.

Gjatë shkollimit, aftësitë matematikore dhe pritjet pozitive kanë një lidhje të fortë me interesin për karrierë në fushë. Faktorë ekstrinsekë si motivimi përmes reagimeve nga mësuesit, prindërit, dhe grupet e bashkëmoshatarëve mund të ndikojnë nivelin e interesit për matematikën. Disa nxënës që studiojnë matematikë mund të zhvillojnë frikë ose ankth rreth performancës së tyre në lëndë. Kjo njihet si ankthi matematikor, dhe konsiderohet më i shquari i çrregullimeve që ndikojnë performancën akademike. Ankthi matematikor mund të zhvillohet për shkak të faktorëve të ndryshëm, si qëndrimet prindërore dhe të mësuesve, stereotipet sociale, dhe tiparet personale. Ndihma për ta kundërshtuar ankthin mund të vijë nga ndryshime në qasjet mësimore, përmes ndërveprimeve me prindër dhe mësues, dhe përmes trajtimeve të përshtatura për individin.

Psikologjia (estetika, kreativiteti, dhe intuita)

Vlefshmëria e një teoreme matematikore mbështetet vetëm te rigoroziteti i provës së saj, çka teorikisht mund të bëhej automatikisht nga një program kompjuterik. Kjo nuk do të thotë se nuk ka vend për kreativitet në punën matematikore. Përkundrazi, shumë rezultate të rëndësishme matematikore (teorema) janë zgjidhje problemesh që matematikanë të tjerë dështuan t'i zgjidhnin, dhe shpikja e një mënyre për t'i zgjidhur mund të jetë një mënyrë themeltare e procesit të zgjidhjes. Një shembull ekstrem është teorema e Apery-t: Roger Apery ofroi vetëm idetë për një provë, dhe prova formale u dha vetëm disa muaj më vonë nga tre matematikanë të tjerë.

Kreativiteti dhe rigoroziteti nuk janë aspektet e vetme psikologjike të aktivitetit të matematikanëve. Disa matematikanë mund ta shohin aktivitetin e tyre si lojë, më konkretisht si zgjidhje enigmash. Ky aspekt i aktivitetit matematikor theksohet në matematikën argëtuese.

Matematikanët mund të gjejnë një vlerë estetike te matematika. Ashtu si bukuria, është e vështirë të përkufizohet, zakonisht lidhet me elegancën, e cila përfshin cilësi si thjeshtësia, simetria, plotësia, dhe përgjithësimi. G. H. Hardy në A Mathematician's Apology shprehu besimin se konsideratat estetike, në vetvete, mjaftojnë për të justifikuar studimin e matematikës së pastër. Ai identifikoi gjithashtu kritere të tjera, si rëndësia, papritshmëria, dhe pashmangshmëria, të cilat kontribuojnë në estetikën matematikore. Paul Erdős e shprehu këtë ndjenjë më ironikisht duke folur për "Librin", një koleksion i supozuar hyjnor i provave më të bukura. Libri i vitit 1998, Proofs from THE BOOK, i frymëzuar nga Erdős, është një koleksion argumentesh matematikore veçanërisht koncize dhe zbuluese. Disa shembuj rezultatesh veçanërisht elegante të përfshira janë prova e Euklidit se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë dhe transformimi i shpejtë Furie për analizën harmonike.

Disa e ndiejnë se konsiderimi i matematikës si shkencë e nënvlerëson artin dhe historinë e saj në shtatë artet liberale tradicionale. Një mënyrë si ky dallim pikëpamjesh shfaqet është në debatin filozofik se nëse rezultatet matematikore krijohen (si në art) ose zbulohen (si në shkencë). Popullariteti i matematikës argëtuese është një tjetër shenjë e kënaqësisë që shumë njerëz gjejnë në zgjidhjen e pyetjeve matematikore.

Shprehja artistike

Notat që tingëllojnë mirë së bashku për një vesh perëndimor janë tinguj frekuencat themeltare të vibrimit të të cilëve janë në raporte të thjeshta. Për shembull, një oktavë e dyfishon frekuencën dhe një kuintë e përsosur e shumëzon me .

Njerëzit, si dhe disa kafshë të tjera, i gjejnë modelet simetrike më të bukura. Matematikisht, simetritë e një objekti formojnë një grup të njohur si grupi i simetrisë. Për shembull, grupi që qëndron pas simetrisë pasqyrë është grupi ciklik me dy elemente, . Një test Rorschach është një figurë e pandryshueshme nën këtë simetri, ashtu si trupat e fluturave dhe kafshëve më gjerësisht (të paktën në sipërfaqe). Valët në sipërfaqen e detit posedojnë simetri translacioni: lëvizja e këndvështrimit të dikujt me distancën mes kreshtave të valëve nuk e ndryshon pamjen e detit. Fraktalet posedojnë vetë-ngjashmëri.

Popullarizimi

Matematika popullore është akti i paraqitjes së matematikës pa terma teknikë. Paraqitja e matematikës mund të jetë e vështirë pasi publiku i gjerë vuan nga ankthi matematikor dhe objektet matematikore janë shumë abstrakte. Sidoqoftë, shkrimi matematikor popullor mund ta kapërcejë këtë duke përdorur zbatime ose lidhje kulturore. Pavarësisht kësaj, matematika rrallë është tema e popullarizimit në median e shkruar ose televizive.

Çmimet dhe problemet me çmim

Çmimi më prestigjioz në matematikë është Medalja Fields, themeluar nga kanadezi John Charles Fields në 1936 dhe dhënë çdo katër vite (përveç rreth Luftës së Dytë Botërore) deri katër individëve. Konsiderohet ekuivalenti matematikor i Çmimit Nobel.

Çmime të tjera prestigjioze matematike përfshijnë:

• Çmimin Abel, i themeluar në 2002 dhe dhënë për herë të parë në 2003
• Medaljen Chern për arritje jetësore, e futur në 2009 dhe dhënë për herë të parë në 2010
• Çmimin AMS Leroy P. Steele, i dhënë që nga 1970
• Çmimin Wolf në Matematikë, gjithashtu për arritje jetësore, i themeluar në 1978

Një listë e njohur prej 23 problemesh të hapura, të quajtura "Problemet e Hilbertit", u përpilua në 1900 nga matematikani gjerman David Hilbert. Kjo listë ka arritur famë të madhe mes matematikanëve, dhe të paktën trembëdhjetë nga problemet (në varësi si interpretohen disa) janë zgjidhur.

Një listë e re prej shtatë problemeve të rëndësishme, e titulluar "Problemet e Çmimit të Mijëvjeçarit", u botua në 2000. Vetëm një prej tyre, hipoteza e Riemann-it, dyfishon një nga problemet e Hilbertit. Zgjidhja e cilitdo prej këtyre problemeve mban një shpërblim prej 1 milion dollarësh. Deri më sot, vetëm një nga këto probleme, hamendja e Poincaré-së, është zgjidhur, nga matematikani rus Grigori Perelman.