Folge die gegen 0 konvergiert

Nullfolge

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In der Mathematik versteht man unter einer Nullfolge eine Folge (meist von reellen Zahlen), die gegen 0 konvergiert (sich annähert). Jede konvergente Folge kann als die Summe aus einer konstanten Zahl (nämlich ihrem Grenzwert) und einer Nullfolge dargestellt werden.

Zum Beispiel ist die Folge $(2^{-n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge reeller Zahlen.

Definition

Sei $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R},\mathbb {C} \}$ der Körper der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in $\mathbb {K}$ heißt Nullfolge, falls sie konvergiert und dabei

\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0

gilt.

Anmerkung

Die Menge aller Nullfolgen bildet den Folgenraum $c_{0}$ , der mit der Supremumsnorm $\textstyle \left\|(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right\|_{\infty }:=\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|$ ein Banachraum wird.

Beispiele

Beispiele für Nullfolgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sind:

$a_{n}\,=\,0$ ,

$a_{n}\,=\,{\frac {1}{n}}$ ,

$a_{n}\,=\,{\frac {1}{n^{2}}}$ ,

$a_{n}\,=\,(-1)^{n}{\frac {1}{n}}$ ,

$a_{n}\,=\,(-0{,}5)^{n}$ ,

$a_{n}\,=\,{\sqrt[{n}]{5}}-1$ .

Sätze

I

Ist $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $\mathbb {K}$ und $a\in \mathbb {K}$ , so konvergiert jene gegen den Grenzwert $a$ dann und nur dann, wenn $(a_{n}-a)_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.

II

Sind $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zwei beschränkte Folgen in $\mathbb {K}$ und ist eine davon eine Nullfolge, so ist auch $(a_{n}\cdot b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.

III

Für eine in $\mathbb {K}$ konvergente Reihe $\sum _{n\in \mathbb {N} }{a_{n}}$ ist die zugehörige Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ stets eine Nullfolge.

IV

Ist $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine alternierende Folge in $\mathbb {R}$ und ist dabei die zugehörige Folge $(|a_{n}|)_{n\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge, so ist $\sum _{n\in \mathbb {N} }{a_{n}}$ eine konvergente Reihe.

Verallgemeinerung

Sei $(G,+,d)$ eine metrisierbare topologische Gruppe, d. h. eine Gruppe, die mit einer Metrik so ausgestattet ist, dass die Gruppenverknüpfung und die Inversenbildung stetig sind (z. B. die additive Gruppe in einem bewerteten Körper oder normierten Vektorraum).

Eine konvergente Folge in $G$ heißt genau dann Nullfolge, wenn sie gegen das neutrale Element konvergiert.

Die Eigenschaft einer Folge, Nullfolge zu sein, hängt natürlich von der Metrik ab: Die oben als Beispiel angegebene Folge $a_{n}=(-0{,}5)^{n}$ ist in $\mathbb {Q}$ eine Nullfolge bezüglich der üblichen Betragsmetrik, jedoch divergiert sie sogar bezüglich des 2-adischen Betrages auf $\mathbb {Q}$ .

Eine Folge in einem normierten Vektorraum ist genau dann eine Nullfolge bezüglich der durch die Norm induzierten Metrik, wenn die Folge der Normen eine Nullfolge in $\mathbb {R}$ ist.

Weiterlesen

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Text aus der Wikipedia, CC BY-SA 4.0 · Quellartikel